siny + sin(π/4 - y)=(√2)(cosy)/2 + (2-√2)(siny)/2
我們知道和角公式sin(a+b)=sinxcosb+cosasinb
原式已經有公式第一項的cosb和第二項的sinb
我們要找到公式裡的sina和cosa
是否有個a使sina=(√2)/2且cosa=(2-√2)/2?
沒有，因為那兩個數字的平方和是2-√2而不是1
所以，我們要讓那兩個數字都除以√[2-√(2)]
才能湊出和角公式。
令sinz=[(√2)/2]/√[2-√(2)]
cosz=[(2-√2)/2]/√[2-√(2)]
則原式=√[2-√(2)]sin(z+y)
你可以驗算一下，sinz和cosz的平方和為1，表示這樣的z一定存在
原式=√[2-√(2)]sin(z+y)，
-√[2-√(2)]≦原式≦√[2-√(2)]
我個人稱這種作法叫三角函數的配方法，當然這真的是我個人胡亂取名的。
另外我記得這樣的題目可以用參數式解，只是一時想不起來。
※ 引述《hightacps (海獺)》之銘言：
: x+y=π/4
: 則sinx + siny 的最小值為?
: 答案是-√[2-√(2)]
: 但我算法如下
: y=π/4 - x
: 所以sinx + sin(π/4 - x) = 2sin(π/8)cos(x-π/8)=√[2-√(2)] cos(x-π/8)
: 而因為x+y=π/4 => 0 <= x <= π/4
: => -π/8<=x-π/8<=π/8
: => √[2+√(2)]/2<=cos(x-π/8) <=1
: => √(2)/2 <= √[2-√(2)] cos(x-π/8)<=√[2-√(2)]
: 算出來最小值是√(2)/2
: 請問我哪裡算錯呢
: 謝謝
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