Re: [幾何] 一題surface證明

[herstein (翔爸)]

※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言：
: Let M : z = f(x,y) be a surface and p = (p1,p2,p3)∈M.
: Show that (v1,v2,v3) ∈ T M if and only if
:                     p    p
:                         ∂f                  ∂f
:                  v3 = ( --- (p1,p2) ) v1 + ( --- (p1,p2) ) v2
:                         ∂x                  ∂y
: 如果看到框框的話那是屬於和偏微分符號
: 有人知道該怎麼證嗎?
這從定義就可以了。在曲面向的切向量可以從曲面上的曲線得到。
換句話說，你取一條曲線c:(-a,a)-> M使得c(0)=p, c'(0)=(v_1,v_2,v_3)_p
既然c是M上的曲線，假設c(t)=(x(t),y(t),z(t)),則z(t)=f(x(t),y(t))
兩邊同時微分代0你就得到你要的式子。反之，利用上面的式子，你可以造
出M上的一條曲線，同時這曲線的切向量就是你想要的。

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◆ From: 195.37.209.182
→ a88241050   :冏,我果然不是學幾何的料,好難懂...
推 Lindemann   :既然h大都給您提示了,不就只是用chain rule帶值而已
→ harveyhs    :z=f(x,y)給定了那法向量就可求了，可以考慮這個觀點
推 keroro321   :微分幾何上 要h大那樣做才是標準作法的,可以想想
→ keroro321   :一般differential manifold 什麼是法向量??
→ harveyhs    :一般流形上法向量的確不一定（大多沒有）能定
→ harveyhs    :可是一開始還不熟悉的時候，先用可視的例子想像
→ harveyhs    :應該也不會太罪過吧@@
→ herstein    :基本上邏輯是這樣，是因為你證明了這個式子，
→ herstein    :才了解到原來(f_x,f_y,-1)是法向量(在R^3)中
→ herstein    :所以你知道了那是法向量，與他垂直的必定要是切向量
→ harveyhs    :喔喔@ @謝謝，受教了！
→ sneak       : 才了解到原來(f_x, https://noxiv.com
→ sneak       : z=f(x,y)給定了 https://daxiv.com