推 cournot :謝謝 我想到Zi=1 則 Z{i+1}=0.就卡住了 04/18 23:19
※ 引述《cournot (competition)》之銘言：
: a fair die is tossed n times let X be the number of times that the pattern 1 2
: is observed
: a. E(X) b. VAR(X)
: 想很久了 但是還是連怎麼下手都不知道
: 所以想請教一下板友
: 謝謝
我先前的回答完全弄錯題意了!
題中的 X 是 n 次投擲中 pattern "12" 出現的次數.
令, for i=1,...,n-1,
Zi = 1 if 第 i 次投擲是 1 且第 i+1 次投擲結果是 2.
= 0 otherwise
注意 Zi=1 則 Z{i+1}=0.
易得 P{Zi=1} = (1/6)^2 = 1-P{Zi=0}.
故
E[Zi] = 1/36,
Var(Zi) = E[Zi^2]-(E[Zi])^2 = 1/36 - 1/36^2 = 35/1296.
又:
P{Zi=1,Z{i+1}=1} = 0.
For j≧i+2,
P{Zi=1, Zj=1} = P{Zi=1}P{Zj=1} = (1/6)^4.
故
Cov(Zi,Zj) = 0 if j≧i+2;
Cov(Zi,Z{i+1}) = -E[Zi]E[Z{i+1}] = -1/1296.
X = ΣZi, 故
E[X] = ΣE[Zi] = (n-1)P[Zi=1] = (n-1)/36
Var[X] = ΣVar[Zi] + 2ΣΣ Cov(Zi, Zj)
i<j
= (n-1)35/1296 + 2(n-2)(-1/1296) = (33n-31)/1296.
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