※ 引述《reoleo (reo)》之銘言：
: ╴ ╴ ╴
: △ABC中，AB = 20，AC = 12，∠A平分線交BC於P，
: ╴ ╴ ╴ ╴╴╴╴╴
: BC上有一點Q，且BQ = CP，求 √AQ^2-AP^2 =？
: ANS: 8
: ╴ ╴ ╴
: 想法: 第一直覺是利用內分比，BQ:QP:PC = 3:2:3
: 接下來用勾股，可是題目並無∠A=90度的條件
: 所以想了很久還是想不出來...
似乎是很久之前的競賽題 最近一次看到是在2012城市盃
事實上 AQ^2-AP^2=(AB-AC)^2
作BC邊上的高AH,則
AQ^2-AP^2=(AH^2+QH^2)-(AH^2+PH^2)=QH^2-PH^2=(QH-PH)(QH+PH)
=QP(BH-BQ+PC-HC)=QP(BH-HC) (因BQ = CP)
=(BP-PC)(BH-HC)..............(1)
接著由內角平分線性質及和差比知
BP/AB=PC/AC=(BP-PC)/(AB-AC)=(BP+PC)/(AB+AC)=BC/(AB+AC)
從而 BP-PC = [BC/(AB+AC)](AB-AC)..............(2)
(2)代入(1)得 AQ^2-AP^2=(BH-HC)[BC/(AB+AC)](AB-AC)
=(BH-HC)[(BH+HC)/(AB+AC)](AB-AC)
=[(BH^2-HC^2)/(AB+AC)](AB-AC)........(3)
又AB^2-AC^2=(AH^2+BH^2)-(AH^2+CH^2)=BH^2-CH^2.........(4)
(3)代入(4) 得AQ^2-AP^2=(AB-AC)^2
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.39.100.95