Re: [代數] 請教函數題目

[vicwk (Victor)]

※ 引述《TAKITAKI (小可兔)》之銘言：
: Σ n^2 * x^(n-1)
: summation n從1到無窮大
: 0< x <1
: 這樣這個式子應該會收斂到多少呢?

        ∞
S1(x) = Σ n * x^(n-1)
        n=1
          ∞           ∞
x S1(x) = Σ n * x^n = Σ(n-1) * x^(n-1)
          n=1          n=2
                  ∞
(1-x) S1(x) = 1 + Σ x^(n-1) = 1 + x + x^2 + ... = 1/(1-x)
                  n=2
S1(x) = 1/(1-x)^2

       ∞
S(x) = Σ n^2 * x^(n-1)
       n=1
         ∞             ∞
x S(x) = Σ n^2 * x^n = Σ(n-1)^2 * x^(n-1)
         n=1            n=2
                 ∞                         ∞
(1-x) S(x) = 1 + Σ(2n-1) * x^(n-1) = 2 + (2Σn x^(n-1) ) - (1+x+x^2+...)
                 n=2                        n=2
= 2 + 2(S1(x)-1) - 1/(1-x) = (1+x)/(1-x)^2

S(x) = (1+x)/(1-x)^3

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◆ From: 163.22.18.20
推 a016258     :這題型真的很多人問...
推 TAKITAKI    :感謝回答!!