Re: [微積] 一題Jacobian變換

[suhorng ( )]

※ 引述《james1201 ()》之銘言：
:                                                  2
:                                 2  u      (v-u+1)
: Evaluate the iterated integral S  S      e         dvdu.
:                                 1  2u-2
: 這題我是用Jacobian變換去解  令x=v-u+1來嘗試
:                               y=v
: 可是弄了老半天好像會卡住
: 請問有更好的解法嗎？

用另外的方法可以求, 不過應該不是出這題的本意

          u
寫 f(u) = ∫exp[(v-u+1)^2]dv, 則
         2u-2

                       d                      d          u  ∂
f'(u) = exp[(u-u+1)^2]--u - exp[(2u-2-u+1)^2]--(2u-2) + ∫----exp[(v-u+1)^2]dv
                      du                     du       2u-2 ∂u
                             u
      = e - 2exp[(u-1)^2] + ∫(-2)(v-u+1)exp[(v-u+1)^2]dv
                           2u-2
                                          |v = u
      = e - 2exp[(u-1)^2] - exp[(v-u+1)^2]|
                                          |v = 2u-2

      = -exp[(u-1)^2]

           2              |2    2
=> 所求 = ∫f(u)du = uf(u)|  - ∫uf'(u)du
           1              |1    1

            1              2
        = -∫exp(v^2)dv + ∫u exp[(u-1)^2] du
            0              1

           1
        = ∫[ (t+1)exp(t^2) - exp(t^2) ]dt   (u=t+1, v=t)
           0

           1         |1    e - 1
        = ---exp(t^2)|  = -------
           2         |0      2

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◆ From: 59.115.145.87
推 james1201   :感謝!! 這解法真的是很難想到啊 太強了!!
※ 編輯: suhorng         來自: 59.115.145.87        (05/02 00:32)
推 PaulErdos   :台大統一教學網上放的解答 居然是用泰勒展開做這題
→ PaulErdos   :我看到當下大吃一驚  真是創意無限
→ suhorng     :原來這題是考古題? 哪一年的呀?
推 PaulErdos   :翁秉仁講義 p.229   習題4.5
推 PaulErdos   :http://tinyurl.com/7ehesd9  習題解答
→ suhorng     :感謝!!!!!!!