[微積] 泰勒展開

[jimmyoic (jimmyoic)]

1.

求tanx 的泰勒展開

我在坊間的書裡看到除了用基本定義的方法去求以外

還能用sinx的展開式除cosx的展開式來找

這樣變成兩項泰勒展開式相除 先不論能不能這樣求得tanx的展開式

這兩樣要怎麼除我也不知道= =

今天去問微積分老師他說不可能可以這樣算

想請問一下這個方法是不是真的不可行?

2.

要求arcsinx 泰勒展開式

書上的方法是先將其微分變成 1/ (1-x^2)^1/2

然後會等於  -1/2     -1/2      1      -1/2      2
           C     +  C    (-x^2)   +  C    (-x^2)   .......
             0       1                 2

= 1 + 1/2x^2  + 3/8x^4 + 5/16x^6 ......

這裡我看不懂C的意思是什麼= = 去估狗了一下其他展開arcsinx 的作法也是這樣

3.
      tan(sinx) -sin(tanx)
lim   -------------------- = A  求alpha 跟 A
x->0          x^(alpha)

可以將tanx= x + 1/3x^3 + 2/15 x^5 ......  x用sinx代入

但是下一步  sinx + 1/3(sinx)^3  + 2/15 (sinx)^5 = x +1/6x^3 - 1/40x^5-3/560x^7

是怎麼來的 我看不懂

sin(tanx) 也是一樣的方法　但是也是在一樣的地方卡住





希望有人能指點一下@@問題有點長

感謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.116.118.93
推 LPH66       :1. 我是聽說可以用待定係數法來做...
→ LPH66       :也就是說  令 tanx 的展開式有未定係數
→ LPH66       :和 cosx 的級數相乘後逐項係數跟 sinx 級數係數相等
→ LPH66       :去解得待定係數
→ LPH66       :2. 這是廣義二項式係數
→ LPH66       :C(n,r) = (n)(n-1)...(n-r+1)/r!  n 非整數, r 整數
→ LPH66       :像 C(-1/2,2) = (-1/2)(-3/2)/2! = 3/8
→ LPH66       :這裡其實就是把 D arcsinx 寫成 (1-x^2)^(-1/2)
→ LPH66       :再用(廣義)二項式定理展成級數
→ LPH66       :所以次方的 -1/2 就出現在 C 的第一個參數了
→ LPH66       :3. 呃...硬乘開來？  x^3 項有 sinx 的 -1/6,
→ LPH66       :(sinx)^3 乘開能有 x^3 只有 1*1*1 再乘外面 1/3
→ LPH66       :一共 (-1/6)+(1/3) = 1/6
→ LPH66       :x^5 項有 sinx 的 1/120, (sinx)^3 的 3(1)(1)(-1/6)
→ LPH66       :(sinx)^5 的 1*1*1*1*1,
→ LPH66       :共 1/120+(1/3)(-1/2)+(2/15)(1) = -1/40
→ LPH66       :反正我沒記錯的話這題似乎不用展太多項  就硬暴就好
→ jimmyoic    :所以說第二個問題就是C(n,r)用在非整數囉?? 我之前沒
→ jimmyoic    :有學過類似的作法= = 那麼運算應該是一樣嗎?
→ jimmyoic    :先謝謝你囉^^
推 PaulErdos   :1. 用除的可行,有些教科書就這樣做給你看
→ sneak       : 像 C(-1/2,2) https://noxiv.com
→ sneak       : 像 C(-1/2,2) https://daxiv.com