[微積] 極限值

[baba1234 (推理要在晚餐後)]

某職校課本題目
         n __________          n ____________________
    lim  √3^n + 5^n   =  lim  √5^n [ (3/5)^n + 1 ]
   n→∞                 n→∞
         n ______________
=   lim  √5^n [ 0 + 1 ]   ( n→∞，(3/5)^n→0 )
   n→∞
        n ____
=  lim  √5^n  = 5
  n→∞

但我覺得紅色那行有問題，我覺得應該使用夾擠定理比較正確
                                           n
利用 5^n  < 3^n + 5^n < 5^n + 5^n 以及 lim √k = 1 ， k > 0
                                      n→∞

不過顯然超出高職生程度，還請高手賜教，謝謝。




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◆ From: 220.140.232.131
推 calvin4     :的確有問題。取極限要一次取，不能先對函數的一部份
→ calvin4     :取，再對剩下的部份取。但是，利用極限的product
→ calvin4     :rule，還是可以解決這個問題。因為「5^n開n次根號」
→ calvin4     :與「(3/5)^n + 1開n次根號」當n→∞時，極限都存在。
→ calvin4     :因此，原函數的極限值會等於這兩個函數分別求極限之
→ calvin4     :後再相乘。
→ calvin4     :另外，若想使用夾擠定理，你不等式兩方的極限值會相
→ calvin4     :等嗎？
→ bibo9901    :都是5
→ calvin4     :如果函數爆掉，就沒啥好說的了，因此我就當這個不等
→ calvin4     :式的兩方都已經開了n次根號。但，即使開了n次根號，
→ calvin4     :n√(5^n)也不會等於n√(2．5^n)啊。
→ yueayase    :lim n√(2．5^n) = lim n√2 *5 = 5lim n√2 = 5
→ yueayase    :一開始我也弄不出來...
→ bibo9901    :n√(2．5^n)取極限 = 5   (2開無限次方=1)
→ baba1234    :推文2~5樓有錯誤，按此邏輯 n→∞,[1+(1/n)]^n=1
→ XinYuan     :lim{(5^n+3^n)^(1/n),n→∞}=
→ XinYuan     :=exp{lim{ln{(5^n+3^n)^(1/n)},n→∞}}
→ XinYuan     :=exp{lim{(1/n)ln{5^n‧(1+(3/5)^n)},n→∞}}
→ XinYuan     :=exp{lim{(1/n){n‧ln(5)+ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}
→ XinYuan     :=exp{lim{ln(5)+(1/n)‧ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}
→ XinYuan     :顯然，lim{(1/n)‧ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}=0，所以
→ XinYuan     :=exp{ln(5)}=5，故極限值為5
→ XinYuan     :以上，exp{}表示自然指數函數，ln{}或ln()表示自然對
→ XinYuan     :數函數，第一條到第二條等式，極限動作可以放到指數
→ XinYuan     :函數內執行，是因為exp為連續函數
→ calvin4     :「按此邏輯 n→∞,[1+(1/n)]^n=1」的理由是？
→ sneak       : 「按此邏輯 n→∞,[ https://noxiv.com
→ sneak       : 取，再對剩下的部份取。 https://daxiv.com