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某職校課本題目 n __________ n ____________________ lim √3^n + 5^n = lim √5^n [ (3/5)^n + 1 ] n→∞ n→∞ n ______________ = lim √5^n [ 0 + 1 ] ( n→∞,(3/5)^n→0 ) n→∞ n ____ = lim √5^n = 5 n→∞ 但我覺得紅色那行有問題,我覺得應該使用夾擠定理比較正確 n 利用 5^n < 3^n + 5^n < 5^n + 5^n 以及 lim √k = 1 , k > 0 n→∞ 不過顯然超出高職生程度,還請高手賜教,謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.140.232.131
calvin4 :的確有問題。取極限要一次取,不能先對函數的一部份 05/05 21:36
calvin4 :取,再對剩下的部份取。但是,利用極限的product 05/05 21:37
calvin4 :rule,還是可以解決這個問題。因為「5^n開n次根號」 05/05 21:37
calvin4 :與「(3/5)^n + 1開n次根號」當n→∞時,極限都存在。 05/05 21:38
calvin4 :因此,原函數的極限值會等於這兩個函數分別求極限之 05/05 21:40
calvin4 :後再相乘。 05/05 21:40
calvin4 :另外,若想使用夾擠定理,你不等式兩方的極限值會相 05/05 21:44
calvin4 :等嗎? 05/05 21:44
bibo9901 :都是5 05/05 22:07
calvin4 :如果函數爆掉,就沒啥好說的了,因此我就當這個不等 05/05 22:15
calvin4 :式的兩方都已經開了n次根號。但,即使開了n次根號, 05/05 22:15
calvin4 :n√(5^n)也不會等於n√(2.5^n)啊。 05/05 22:16
yueayase :lim n√(2.5^n) = lim n√2 *5 = 5lim n√2 = 5 05/05 22:23
yueayase :一開始我也弄不出來... 05/05 22:24
bibo9901 :n√(2.5^n)取極限 = 5 (2開無限次方=1) 05/05 22:24
baba1234 :推文2~5樓有錯誤,按此邏輯 n→∞,[1+(1/n)]^n=1 05/06 02:04
XinYuan :lim{(5^n+3^n)^(1/n),n→∞}= 05/06 15:59
XinYuan :=exp{lim{ln{(5^n+3^n)^(1/n)},n→∞}} 05/06 16:00
XinYuan :=exp{lim{(1/n)ln{5^n‧(1+(3/5)^n)},n→∞}} 05/06 16:03
XinYuan :=exp{lim{(1/n){n‧ln(5)+ln(1+(3/5)^n)},n→∞}} 05/06 16:05
XinYuan :=exp{lim{ln(5)+(1/n)‧ln(1+(3/5)^n)},n→∞}} 05/06 16:06
XinYuan :顯然,lim{(1/n)‧ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}=0,所以 05/06 16:09
XinYuan :=exp{ln(5)}=5,故極限值為5 05/06 16:10
XinYuan :以上,exp{}表示自然指數函數,ln{}或ln()表示自然對 05/06 16:13
XinYuan :數函數,第一條到第二條等式,極限動作可以放到指數 05/06 16:16
XinYuan :函數內執行,是因為exp為連續函數 05/06 16:16
calvin4 :「按此邏輯 n→∞,[1+(1/n)]^n=1」的理由是? 05/06 21:39
sneak : 「按此邏輯 n→∞,[ https://noxiv.com 08/13 16:50
sneak : 取,再對剩下的部份取。 https://daxiv.com 09/17 14:46