※ 引述《IwanTuRasS (阿姨)》之銘言：
: 大家好
: 小弟今天想請教大家一個幾何的證明問題
: 如圖所示http://i.imgur.com/TJpRk.jpg
: 假設已知y>x，有沒有辦法證明c+d>a+b
: 或是有沒有辦法證明在哪種條件下上式成立
: 目前小弟是朝面積方法去證，
: pf:
: 上下三角形公用底邊，因為下三角高(y)>下三角高(x)
: 所以下三角面積大於上三角，到這邊就卡住
: 因為我沒辦法證明三角形面積大就一定周長大
: 這邊請教各位有沒有其他方法可證
: 第一個回答者小弟我1000P奉上 感謝各位了
: 補充一下任何方法都可以 謝謝
你沒有說清楚垂足是不是一定要在公用底邊上(不能在延長線上)
所以以下假設在公用底邊上，要不然明顯可以找到反例
因為標題為幾何
我就用幾何方式作，要不然列函數求微分更方便
首先
考慮一個三角形，如上角形
先證明對於固定的高x和底邊L
(1)兩側邊和的最小值發生在垂足位於底邊終點
(2)兩側邊和的最大值發生在垂足位於底邊端點
Proof
(1)
給底邊端點代號B,C
做直角三角形，第三端點為A，高AB = x
另在底邊除端點之外找任一點B'，做高x的三角形A'BC，A'B'和AC相交於D點
現在欲證明 AB + AC > A'B + A'C
做輔助線AB'
AD + B'D > AB'
DC + A'D > A'C
AB' = A'B
A'B' = AB
=> AC + A'B' = AC + AB > AB' +A'C = A'B + A'C 證畢
(2)
給底邊端點代號B,C
作等腰三角形ABC，高為x
此三角形頂點A位於橢圓(長軸=三角形兩腰和)之短軸上，焦點為底邊兩端點
如果把垂足移離底邊中心點，新三角形頂點明顯在上述橢圓之外，
(國中幾何課有證明三角形內一點到兩端點的長度和小於那兩端點到第三頂點的長度和)
因此
對於具有同高x但是垂足不在底邊中心點的三角形
兩側邊和必定大於同高且垂足在底邊中心點的三角形的兩側邊和
同理下三角形也適用
因此
給定x,y,和底邊
如果下三角形的兩側邊和最小值(即等腰三角形兩腰和)
大於上三角形兩側邊和最大值(及直角三角形斜邊和高的和)
則保證c+d>a+b
注意上面都是確定算得出來的數值
如果沒辦法
仍然可以給出條件當下三角形的高距離底邊任一端點超過d
保證c+d>a+b一定滿足
其中d滿足x+√[x^2+L^2] = y + √[y^2+d^2]
不過這比較沒什麼意思
其餘情況都是直接用算的
因為只有單變數d而已
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