作者LPH66 (-858993460)
看板Math
標題Re: [中學] 多項式與三角函數
時間Tue May 15 05:20:30 2012
※ 引述《FrostMaiden (幾百年沒玩魔獸)》之銘言：
: 設整數係數多項式p(x)有一個複數根cos20度+sin20度，則p(x)的次數的最小值
: A) 6 B) 8 C) 9 D) 17 E) 18
: 請教高手了 (最好簡淺易懂= =) 感恩
我也覺得有 i .....(畢竟它說複數)
先解有 i 的好了 這個比較簡單
令 w = cos20度 + i sin20度
顯然有 w^9 = -1 因此 x^9+1 = 0 有一根為 w
因式分解 x^9+1 = (x^3+1)(x^6-x^3+1)
顯然 w 不為前一個因式的根 故只能為後一個因式的根
而 x^6-x^3+1 容易檢查沒有整係數因式了 故這就是所求 六次式
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再來是沒有 i 的
令 x = cos20度 + sin20度
疊合可得 x = (√2)(cos45度cos20度 + sin45度sin20度) = (√2)cos25度
(疊成 cos 的原因是方便下面使用 cos 的兩倍、三倍角公式 只和 cos 有關)
平方可得 x^2 = 2cos^2 25度 = 1 + cos50度 (倍角公式)
即 cos50度 = x^2-1
用一次三倍角 cos 3θ = 4cos^3 θ - 3cosθ
cos150度 = (x^2 - 1)(4(x^2 - 1)^2 - 3)
= (x^2 - 1)(4x^4 - 8x^2 + 1)
= 4x^6 - 12x^4 + 9x^2 - 1
而 cos150度 = -√3/2
也就是說
(4x^6 - 12x^4 + 9x^2 - 1)^2 = 3/4
4(4x^6 - 12x^4 + 9x^2 - 1)^2 - 3 = 0
左式有一根為原數 x
為了因式分解左式
觀察到 4x^6 - 12x^4 + 9x^2 = x^2(4x^4 - 12x^2 + 9) = x^2(2x^2 - 3)^2
若令 s = x(2x^2-3) = 2x^3 - 3x
則左式
= 4(s^2 - 1)^2 - 3
= 4s^4 - 8s^2 + 1
= (4s^4 - 4s^2 + 1) - 4s^2
= (2s^2 - 1)^2 - (2s)^2
= (2s^2 + 2s - 1)(2s^2 - 2s - 1)
分解成了兩個 s 的二次式 但 s 是 x 的三次式 所以這實質上是兩個 x 的六次式
寫開就是這樣:
(8x^6 - 24x^4 + 4x^3 + 18x^2 - 6x - 1) (8x^6 - 24x^4 - 4x^3 + 18x^2 + 6x - 1)
這兩個式子各自都已經沒有整係數因式了 (←這一點容我呼嚨過去，因為檢查還頗煩的..
我會知道是 Mathematica 告訴我的)
而 x 必然代入其中一個會是 0
因此所求的多項式也是六次
(事實上根據 Mathematica 的數值解, 原數是為前者的根
即此最小多項式為 8x^6 - 24x^4 + 4x^3 + 18x^2 - 6x - 1 )
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算完之後才發覺竟然這麼湊巧 不管有沒有 i 的答案都是相同的....
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◆ From: 140.112.28.91
推 bunbunsugar :有心給個推~~ 05/15 09:32
→ jewry2005 :我後來想想，實數包含於複數，所以應該直接用沒i的算 05/15 11:40
→ jewry2005 :x = cos20°+ sin20°可以直接平方x^2 = 1 + sin40° 05/15 11:42
推 FrostMaiden :謝謝XD 05/15 16:15
→ LPH66 :to 原PO: 你問 9 次方為何不是 1 05/15 17:41
→ LPH66 :因為 9 次方是 180 度啊... 360 度才是 1 05/15 17:41
→ LPH66 :180 度正好是反方向 所以是 -1 05/15 17:41