Re: [幾何] prove Lagrange identity

[harveyhs (Hango)]

※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言：
: For vectors X,Y,V,W in R^3 , prove the Lagrange identity
:                     | X‧V   X‧W |
:  (X x Y) ‧(V x W) =|             |
:                     | Y‧V   Y‧W |
: 是直接令代數進去展開嗎?


直接代分量進去是一種解法，滿痛苦的@@

純粹用向量符號：

(X x Y)‧(V x W)=X‧(Y x (V x W)) by A‧(B x C)= B‧(C x A)= C‧(A x B)

Y x (V x W)= V(Y‧W)-W(Y‧V) by BAC-CAB identity

X‧(Y x (V x W))=(X‧V)(Y‧W)-(X‧W)(Y‧V)



用張量符號：（這個例子沒有比較方便但或許其他場合有用@@）

(X x Y) ‧(V x W)=(X x Y)_i(V x W)_i=ε_ijk X_j Y_k ε_imn V_m W_n

                 =(δ_jmδ_kn-δ_jnδ_km)X_j Y_k V_m W_n

                 =(δ_jm X_j V_m)(δ_kn Y_k W_n)-(δ_jn X_j W_n)(δ_km Y_k V_m)

                 =(X‧V)(Y‧W)-(X‧W)(Y‧V)

(A‧B)=δ_ij A_i B_j=A_iB_i

(A x B)_i=ε_ijk A_j B_k

ε_ijk ε_imn = (δ_jmδ_kn-δ_jnδ_km)

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◆ From: 140.112.249.241
推 a88241050   :冏,張量看不太懂..不過向量就比較容易了解了0.0 ,3Q
δ_ij=  1  if i=j

        0  if i=\=j

(Kronecker delta)

ε_ijk = 1 if ijk=123, 231, 312

        -1 if ijk=132, 213, 321

         0 otherwise

(Levi-Civita symbol)
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (05/16 21:05)
推 JohnMash    :很仔細
啊啊我忘記講最重要的事情，如果足標有重複的表示要加起來

比如說A_i B_i=A_1 B_1+A_2 B_2+A_3 B_3
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (05/16 23:00)