Re: [幾何] prove Lagrange identity

[WINDHEAD (Grothendieck吹頭)]

※ 引述《a88241050 (再回頭已是百殘身)》之銘言：
: For vectors X,Y,V,W in R^3 , prove the Lagrange identity
:                     | X‧V   X‧W |
:  (X x Y) ‧(V x W) =|             |
:                     | Y‧V   Y‧W |
: 是直接令代數進去展開嗎?

之前也看過蠻漂亮的等式. 也有幾何觀點嗎 ?

                         |A‧a  A‧b　A‧c|
  (A‧B x C)(a‧b x c) = |B‧a  B‧b　B‧c|
                         |C‧a  C‧b　C‧c|

　　這裡　A.B.C.a.b.c都是向量唷

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.162.83.96
推 WINDHEAD    :你右邊的a,b,c有點亂,不過沒關係,這個更簡單,因為
→ WINDHEAD    :A‧B x C 就是A,B,C三向量張成的平行六面體體積,
→ WINDHEAD    :可以寫成 det[A,B,C] <-- 矩陣裡面放 A,B,C
→ WINDHEAD    :A,B,C放成row   a,b,c放成column, 那你的恆等式就是
→ WINDHEAD    :  兩個行列式相乘 = 矩陣先相乘再取行列式
感謝。我傻了。原來是determinent的公式

不不，你沒傻，我還要謝謝你，因為你這個方法更好

令 A=X  ,B=Y,C=XxY

   a=XxY,b=V,c=W

代入你的恆等式


                               | 0  XV　XW|
  (X‧Y x (XxY))((XxY)(VxW)) = | 0  YV  YW|
                               |Ca  Cb　Cc|

=>   (XxY)^2 [(XxY)(VxW)] =  (XxY)^2 det[XV,XW,YV,YW]

兩邊消去  (XxY)^2 得原題恆等式 XD

--

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 98.212.48.60
→ herstein    :like
推 coolbetter33::)
推 thisday     :偷偷請問一下  這樣令 帶入之後 得到原題恆等式
→ thisday     :這樣算是恆等式的證明嗎??