Re: [中學] 多項式求極值

[jewry2005 (猶太)]

※ 引述《Eric555 (持續)》之銘言：
: 先說明一下，這題不要用微分，因為我們文組沒有學微分><
: 題目：
: 設X屬於R(實數)，則當X=??時，f(x)=x^2+x+7+(4/x^2+x+1)有最小值
: 唉~這題我完全沒頭緒>< 拜託了！><

f(x) = (x^2+x+1) + 4/(x^2+x+1) + 6

∵ (a + b)/2 ≧ √ab

a + b ≧ 2√ab

等號成立時，a = b

(x^2+x+1) + 4/(x^2+x+1) ≧ 2√4 = 4

此式中 a = x^2+x+1，b = 4/(x^2+x+1)

f(x) = 4 + 6 = 10

(x^2+x+1) = 4/(x^2+x+1)

(x^2+x+1) = ±2

x = (-1 ± √5)/2

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(√a - √b)^2 ≧ 0

a - 2√ab + b ≧ 0

a + b ≧ 2√ab

(a + b)/2 ≧ √ab

由第一行知，等號成立時

√a - √b = 0

a = b
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◆ From: 114.26.153.120
推 Eric555     :對 我也算出f(x)=10  我就卡住了 差一點><
※ 編輯: jewry2005       來自: 114.26.153.120       (05/18 23:23)
推 Eric555     :謝謝老大 我忘記考慮a=b等號成歷了
→ Eric555     :j大你真是人超好又利害....
推 Eric555     :j大 我又卡住了 剛剛有想通 現在有又卡住了
→ Eric555     :為什麼(x^2+x+1) = 4/(x^2+x+1)?
→ Eric555     :a明明不等於b阿
→ jewry2005   :算幾不等式等號成立時，a=b
※ 編輯: jewry2005       來自: 114.26.153.120       (05/18 23:48)
推 Eric555     :但是現在a不等於b 不是嗎><?
→ Eric555     :我到(x^2+x+1) + 4/(x^2+x+1)=4 都還OK
→ Eric555     :f(x)=10也ok 下面就不行了
→ jewry2005   :有最小值→等號成立→a = b
推 Eric555     :我再看看
推 jack4869    :a跟b是不同的式子 現在要找到某一個x 使得a跟b這兩個
→ jack4869    :式子的值一樣
※ 編輯: jewry2005       來自: 114.26.153.120       (05/19 00:00)
推 jack4869    :原PO好像忘記檢查ab都要>=0 雖然很明顯
→ Eric555     :謝謝老大 這篇可以留著嗎 複習可以看><
→ jewry2005   :可以，自修高中數學加油
推 Eric555     :j大謝謝你~明年數學成績出來 我再跟你報告~真多虧你
→ sneak       : 有最小值→等號成立→a https://muxiv.com
→ sneak       : 可以，自修高中數學加油 https://daxiv.com