[其他] 複變的留數定理

[Qmmmmnn (Qmmmmmmmmm)]

題目：證明


   ∞
PV∫ [x^(a-1)]/(1-x) dx = πcot(aπ)   , 0 < a < 1
   0

我的做法(尚未完成)：http://imageshack.us/photo/my-images/834/imagepwp.jpg/

我的疑惑：由a的範圍讓我覺得 positive x-axis 是一個 branch cut。

因為其實branch cut是由許多個branch point組成的，所以，因為分母(1-x)

所造成的z=1的這個點已被這個branch cut所『包含』。

所以我開始感到困惑，到底z=1這個點是branch point 還是一個 singularity？

那麼我的積分路徑是對的嗎？當我計算「順時鐘繞z=1」的路徑積分時，總覺得

沒考慮到branch cut的存在...怪怪的。

還請各位幫幫忙 T_T

謝謝各位 T_T

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.249.233
※ 編輯: Qmmmmnn         來自: 140.112.249.233      (05/22 00:09)
推 ntust661    :點的奇異性是看本身函數，分支線不過是人"定"的
謝謝大大回覆！所以我可以將branch cut定為別的地方囉？好比 positive y-axis。

所以這題的關鍵在於找到一個適當的branch cut嗎？

之前有想過此方法，但總找不到一個適當的支切以將那個積分式算出來..

總覺得都會將那個積分式“消掉”...
※ 編輯: Qmmmmnn         來自: 140.112.249.233      (05/22 00:16)
推 ntust661    :可以阿，分支線人設的~只要把多值函數單值化都行!