※ 引述《kku6869 (kku6869)》之銘言：
: 1^100+2^100+3^100+...+2011^100
: 是503的倍數嗎?
: 若是的話,該如何說明呢?
: 毫無頭緒,請高手指點~~~
我推文講的方法大錯特錯 謝謝有人糾正
因此我只好用某其他方法真的把這題作出來 才對得起自己良心
首先先講結論 503|1^100+2^100+3^100+...+2011^100
一開始先來了解1^n+2^n+....+m^n到底開如何推導
令S_k(n):=0+1^k+2^k+...+(n-1)^k
考慮生成函數 T_k(n):=sum_{k=0}^{無限大} S_k(n)(t^k)/(k!)
可以證明:T_k(n)=[ (e^{nt}-1)/t ][t/(e^t-1)]
我們定義Bernoulli numbers B_k
t/(e^t-1)=\sum_{k=0}^{無限大} B_k t^k/k!
我們重排 T_k(n)可得
T_k(n)=\sum_{k=0}^{無限大}1/(k+1)\sum_{j=0}^kC(k+1,j)B_jn^{k+1-j}t^k/k!
定義 k-th Bernulli 多項式
B_{k+1}(n):=\sum_{j=0}^kC(k,j)B_j X^{k-j}
因此由比較一開始T_k(n)的展開式和最後的式子
可得:
重點 S_k(n)=1/(k+1) (B_{k+1}(n)-B_{k+1})
取個例子
n=2
則 1^2+2^2+....+n^2=S_2(n+1)=(B_3(n+1)-B_3)/3
因此我們的狀況是
S_100(2011+1)=(B_101(2012)-B_101)/101
=1/101[sum_{j=0}^{100} C(101,j)B_j(2012)^{101-k}+B_101-B_101]
=1/101[sum_{j=0}^{100} C(101,j)B_j(2012)^{101-k}]
因此 503| 1/101[sum_{j=0}^{100} C(101,j)B_j(2012)^{101-j}]
因為每一項 都可以被2012整除
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.116.153.199
※ 編輯: GaussQQ 來自: 122.116.153.199 (05/22 22:36)
※ 編輯: GaussQQ 來自: 122.116.153.199 (05/22 22:37)