Re: [中學] 101臺師大附中教師甄試一題

[GaussQQ (亮)]

※ 引述《rehearttw (易懷)》之銘言：
: 請問各位前輩一題，101臺師大附中數學科教師甄試最後一題：
: P(a,b) 在 x^2 + y^2 = 5 上
: 求滿足 log ( b - a ) - log ( 3b - 5a) = 0 的所有點 P。
:           2               8
: Ans：(-√5,0) 、 (1,2) 、 (1/√2 , 3/√2)
令 y_1=log ( b - a ), y_2=log ( 3b - 5a) 省略底

則 2^{y_1}=b-a 以及 8^{y_2}=3b-5a
因此  1= 2^{y-1-y_2}=(b-a)/(3b-5a)^{1/3}
所以   (3b-5a)=(b-a)^3
解聯立 a^2+b^2=5

即可得上面三個答案

所以
      b^3-3b^2a+3ba^2-a^3=3b(b^2+a^2)-3a(b^2+a^2)-2(b^3-a^3)
                         =3b(5)-3a5-2(b-a)(b^2-ab+a^2)=15b-15a-2(b-a)(5-ab)
                         =15b-15a-2(5b-ab^2-5a+a^2b)
                         =5b-5a+2ab^2-2a^2b

因此  ab^2-a^2b+b=0
  b=0 容易解 a
如果b不等於0 則 a^2b-a+1=0 在和 a^2+b^2=5去解 就容易多了




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◆ From: 122.116.153.199
推 rehearttw   :感謝！我很好奇，怎樣聯立比較容易...
推 craig100    :我算到同一步 可是似乎不好解....
※ 編輯: GaussQQ         來自: 122.116.153.199      (05/22 23:22)
推 oldblackwang:我是觀察到左邊三次，右邊一次；而a^2+b^2是二次
→ oldblackwang:所以右邊乘上(a^2+b^2)/5，再展開因式分解