Re: [中學] 一個數論的問題(整除)

[Sfly (topos)]

※ 引述《kku6869 (kku6869)》之銘言：
:         1^100+2^100+3^100+...+2011^100
:         是503的倍數嗎?
:         若是的話,該如何說明呢?
:         毫無頭緒,請高手指點~~~

其實離幾何級數也不太遠

Let a be the primitive root of Z/503, and b=a^100.

Since {1,a,a^2,..,a^501}={1,2,..,502},

     1^100+2^100+3^100+...+2011^100
   = 4(1^100+2^100+...+ 502^100)  (mod 503)
   = 4(1+b + b^2 + ... + b^501) (mod 503)
   = 4 (1-b^502)/(1-b) (mod 503)
   = 0 (mod 503) by FLT.

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 76.94.119.209
※ 編輯: Sfly            來自: 76.94.119.209        (05/23 03:03)
→ GaussQQ     :推 利用 finite field的乘法群是cyclic group
→ wayn2008    :應該還要證明b不等於1
推 GaussQQ     :如果a是primitive element 則定義就說明a^100不是1
→ wayn2008    :最後只要看a是幾次方看次方的因數+1後就不會整除
→ wayn2008    :像這題503就不能改成 2 3 5 11 101