[其他] 數值偏微分方程

[h20021019 (阿破)]

u_tt=-u_xxxx+u_xx+(u^2)_xx

利用差分法把上面的式子離散化

  j+1    j   j-1          j      j     j    j    j          j     j   j
 u    -2u  +u            u    -4u   +6u  -4u   +u          u   -2u  +u
  i      i   i            i+2    i+1   i    i-1  i-2        i+1   i   i-1
------------------ = - ------------------------------- + -----------------
       k^2                          h^4                        h^2


                           j           j         j
                        ( u   )^2 -2 (u  )^2  +(u    )^2
                           i+1         i         i-1
                     + -----------------------------------
                                      h^2



懇請各位大大幫我看看這樣的推導有沒有錯誤!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.128.36.165
→ XinYuan     :u_tt，u_xxxx，u_xx，這3項你都用了二階中差去近似，
→ XinYuan     :最後一項，(u^2)_xx，對於u^2是二階精確，但是對於u
→ XinYuan     :而言，精確度卻較低，
→ XinYuan     :直接對u^2作二階中差近似，對於u而言，其截斷誤差(
→ XinYuan     :truncation error)雖然也是二階精確，但若把(u^2)_xx
→ XinYuan     :先展開為2[u‧u_xx+(u_x)^2]，再把u_xx的二階中差近
→ XinYuan     :似，和u_x的三階中差近似代回去，如此所得到的近
→ XinYuan     *[m:似式，會是具有較小截斷誤差的二階近似式             05/25 16:26
→ XinYuan     :一些進階的概念，可參考下面這本書:
→ XinYuan     :Nonstandard finite difference models of differen-
→ XinYuan     :tial equations, Ronald E. Mickens, 1994.
感謝大大的教學 =) 所以我是不是可以寫成

                   j     j   j          j     j
                  u   -2u  +u          u   - u
                   i+1   i   i-1        i+1   i-1
  (u^2)_xx=2[u* ------------------+( -------------   )]
                        h^2                2h

謝謝您!!
※ 編輯: h20021019       來自: 140.128.36.165       (05/25 17:44)
→ XinYuan     :恩！對x的一階偏導數那項要用4階中差，而且你少了個
→ XinYuan     :平方，四階精確的差分近似，平方後降為二階精確

                    j     j   j          j     j
                   u   -2u  +u          u   - u
                    i+1   i   i-1        i+1   i-1
  (u^2)_xx=2*[u* ------------------+( -------------- )^2 ]
                        h^2                2h

少打個平方@@~謝謝大大!!
※ 編輯: h20021019       來自: 140.128.36.165       (05/28 09:51)
→ XinYuan     :我直接回文到看板了，連結參考看看
→ sneak       : Nonstandard https://muxiv.com
→ sneak       : 直接對u^2作二階中差 https://daxiv.com