Re: [中學] 101臺師大教師甄選計算題第三題

[herstein (翔爸)]

※ 引述《hsnuIan (ddd)》之銘言：
: 請教各位先進，計算題第三題第1小題應該如何利用特徵方程式求出一般項？
: (題目如下)
: a_1 = 2，a_(n+1) = 1/2 ( a_n + 1/a_n ) , n 大於等於 1 成立
: (1) 證明 n 趨近於無限大時 a_n 存在
: 有去看過詳解。有老師提到可利用特徵方程式求出一般項
: 可是到底如何利用特徵方程式仍沒有頭緒，請問有老師可幫忙指點一下嗎??
: 謝謝您。

a_n>0

算幾不等式可以驗證a_(n)>= 1

a_n - a_(n+1)= (a_n-1/a_n)/2  =(a_n^2-1)/2a_n>0

所以遞減有下界必收斂。

a_{n+1}=(a_n^2+1)/2a_n


一般項:

其實我們可以發現(利用分數的運算)

a_{n+1}+1    (a_n+1)^2
--------- = ---------
a_{n+1}-1    (a_n-1)^2

如果令b_n=(a_n+1)/(a_n-1)則 b_1 = 3且

b_{n+1}=b_{n}^2

可知

b_n=3^{2^{n-1}}

在利用b_n的定義可以解出a_n=(3^{2^{n-1}}+1)/(3^{2^{n-1}}-1).

ps:會想到用這方法是因為我看到了x^2+1, 2x
就想湊湊看x^2-2x+1, x^2+2x+1會發生甚麼事情
因為我手邊沒有高中數學競賽教程那本書，所以我只好自己想方法做。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 88.77.191.41
→ nmmn        :噓不看文！！！！！！！
意思就是本題用特徵方程?的方法是比用這個方法解還困難。
用這種方法幾行就結束了。不過觀眾既然要求，我就附上解答。

推 rehearttw   :我推這個方法！
推 demon       :因為mathpro的解法就是原PO說的網路上的詳解吧
推 hsnuIan     :很棒的方法，也謝謝您。
No Problem
※ 編輯: herstein        來自: 88.77.191.41         (05/28 02:54)