推 peter579 :謝謝 05/26 09:31
※ 引述《peter579 (勞苦擔重擔的人可作什麼)》之銘言：
: 已知x,y,z 正實數 x^2/(1+x^2)+y^2/(1+y^2)+z^2/(1+z^2)=1 則xyz的最大值為多少
: 答案 根號2/4
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: 我的想法是 將已知的式子整理後為
: 3-[ 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)] = 1
: 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)=2
: 接下來不知如用使用不等式來求解
不用整理 直接科西不等式可得
[(1+x^2)+(1+y^2)+(1+z^2)][x^2/(1+x^2)+y^2/(1+y^2)+z^2/(1+z^2)]
≧(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx
整理得(x^2+y^2+z^2+3)(1)≧x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx
即 3≧2xy+2yz+2zx
3
又由算幾不等式知(2xy+2yz+2zx)/3 ≧ √8x^2y^2z^2 = 2 (xyz)^(2/3)
故 3≧ 2xy+2yz+2zx ≧ 6 (xyz)^(2/3)
得 1/2 ≧ (xyz)^(2/3) => (1/2)^(3/2) ≧ xyz
故 xyz最大值為√2 /4 (兩個等號成立時均為x=y=z)
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