→ j769132 :感謝感謝 數學怎麼這難= =我覺得我根本無從下手阿= = 05/30 11:19
由於這著問題可以引發其他很多有趣的延伸
(我自己覺得蠻經典的)
所以我盡量把整套解法寫完整
如果有不清楚的地方我在想辦法補充
一、
還是以題目的8個數字排列為例
首先我們知道方法有8!
我們要知道
在8!的正整數內 哪個整數是對應到哪種排列方法
策略是 用一套新的進位規則 來描述排列方法
再釐清這套進位規則跟十進位的關係
二、階進位法
先觀察以下排序
0
1
10
11
20
21
100
101
110
111
120
121
200
201
210
211
220
221
300
301
310
311
320
321
1000
.......
你或許可以發現
第一位數每2次(0 1)進一位 故每個第二位數代表2
第二位數每3次(0 1 2)進一位 故每個第三進位數代表3*2=3!
. 三 ... (0 1 2 3) .. ... 四 4*(3!)=4!
以此類推
這樣的進位法則要如何和十進位互換呢?
照上面或許你已經猜到
階進位 dcba = 十進位 d*4!+c*3!+b*2!+a
其中 a=0-1
b=0-2
c=0-3
d=0-4
至於十進位如何換回來
可以用連續除法 x=2*(3*(4*d+c)+b)+a
三、解法
怕第二段寫太草= =
第三段希望直接看也看得懂0.0
我們可以先看看排列方式和序列有什麼關係
隨意給一個排列
54278613
以及一組未知數abcdefg
首先觀察1跟2
若12 > a=0
若21 > a=1
再觀察3和12的關係
若XX3 > b=0
若X3X > b=1
若3XX > b=2
以此類推
可得到七個數
abcdefgh=1034233
然後 1+0*2!+3*3!+4*4!+2*5!+3*6!+3*7!=
1+0+18+96+240+2160+15120=17635
意即這是第17635種排法(可以驗證必定小於8!)
那地2587種排法長甚麼樣子呢?
2587/2=1293...1
1293/3=431....0
431/4=107.....3
107/5=21......2
21/6=3........3
3/7=0.........3
故abcdefg=1032330
a=1 21
b=0 XX3
c=3 4XXX
d=2 XX5XX
e=3 XX6XXX
f=3 XXX7XXX
g=0 XXXXXXX8
>> 42675138
希望有回答到你的問題=.=
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