[線代] 關於特徵值的問題...

[guiltpunish (罪詠)]

Let λ be an eigenvalue of A 屬於 Mnxn(C)

Prove that

1 <= the geometric multiplicity of λ <= the algebraic multiplicity of λ.

<=這符號是指不大於的意思...

主要想問這題目的出發點該從哪著手？

不太理解什麼是the geometric multiplicity所以不清楚該怎麼下手證明...

理解下面的大大回應之後..另外看到一篇回答是這樣寫的：

λ 的 algebraic multiplicity (代數重數) 的定義為
根 λ 在 A 的 characteristic polynomial (特徵方程式) 中的重數
也就是 generalized eigenspace 的 dimension (維度)

而 λ 的 geometric multiplicity (幾何重數) 的定義為
eigenspace (特徵空間) Eλ 的 dimension (維度)

因為 eigenvector 一定就是 generalized eigenvector
所以 eigenspace 為 generalized eigenspace 的 subsacpe
所以 代數重數大於等於幾何重數...

而大於１是不需要證明的直觀嗎？？
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巨乳一晃三冬暖；貧乳一震六月寒。

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◆ From: 140.115.208.183
※ 編輯: guiltpunish     來自: 140.115.208.183      (05/29 22:40)
→ THEJOY      :對應λ的特徵空間的維度
推 SS327       :請位大大這個定理是跟下面這個一樣嗎
→ SS327       :若u為A(n*n)之m各重根特徵值，則最多對應m個特徵向量
→ guiltpunish :不是一個是幾何..一個是代數...兩者間關係？？
推 SS327       :λa為矩陣A的m重根，對應n(n小於或等於m)個特徵向量
→ SS327       :代數重根數=m   幾何重根數=n
※ 編輯: guiltpunish     來自: 140.115.208.183      (05/29 23:34)
推 yueayase    :(1)eigenvalue,eigenvector的定義
→ yueayase    :告訴你對對於非0向量,存在一個λ使得T(v)=λv
→ yueayase    :可推得the geometric multiplicity of λ>=1
→ yueayase    :(2)the geometric multiplicity of λ <=
→ yueayase    :the algebraic multiplicity of λ,可以看
→ yueayase    :Friedberg, Insel, Spence的linear algebra
→ yueayase    :fourth edition Theorem 5.7,有證明
→ guiltpunish :嗯嗯感謝樓上..我在網站上有找到證明!
→ sneak       : Friedberg,  https://noxiv.com
→ sneak       : 若u為A(n*n)之m https://daxiv.com