推 akilin :謝謝您 05/30 16:05
推 t0444564 :不對吧,(3,1)這個點的利潤都比(5,0)或(6,0)大! 05/30 23:52
推 t0444564 :沒事我眼睛壞掉!!!別里我=口= 05/30 23:54
※ 引述《akilin (小雪)》之銘言：
: 不好意思，最近遇到一題關於拉格朗日乘數的極值問題
: 題目是這樣的：
: A產品產量x單位，B產品產量y單位，
: 收益函數R(x,y)=7x+5y
: 成本函數C(x,y)=x^2+3xy+y^2-4x-4y+20
: 若產生極大利潤，此時(x,y)=?
: 請問高手我是該如何列式?
: 1) F(X,Y,入)=7x+5y+入(x^2+3xy+y^2-4x-4y+20)
: 2) F(X,Y,入)=x^2+3xy+y^2-4x-4y+20+入(7x+5y)
: 要如何判斷 f(x,y) g(x,y) 該用誰呢？
: 若用1)列的話
: Fx=7+入(2x+3y-4)=0 ------①
: Fy=5+入(3x+2y-4)=0 ------②
: F入=x^2+3xy+y^2-4x-4y+20=0 -------③
: 這樣 1.2式要怎麼算 !
: 我不太懂，老師也沒教這麼深，卻出這種題>"<
利潤 F = 收益 - 成本
= (7x+5y) - (x^2+3xy+y^2-4x-4y+20)
求F最大等同於求-F最小
限制式x>=0, y>=0, x, y為整數
整數的條件用Lagrange multiplier不太好代 先不考慮
對於不等式約束極值問題 極值發生的必要條件參考
Karush–Kuhn–Tucker conditions
引入拉氏乘子λ1, λ2 分別對應x>0, y>0的條件
L = -(7x+5y) + (x^2+3xy+y^2-4x-4y+20) - λ1*x - λ2*y
則極值之必要條件為
▽L = 0, x>=0, λ1>=0, x*λ1=0, y>=0, λ2>=0, y*λ2=0
其中x>=0, λ1>=0, x*λ1=0 為complementary trio
可用NCP-function取代 此處我選用 (x^2+λ1^2)^(0.5)-(x+λ1) = 0取代
最後可整理成
L_x = 2x+3y-λ1-11 = 0 ...(1)
L_y = 3x+2y-λ2-9 = 0 ...(2)
(x^2+λ1^2)^(0.5)-(x+λ1) = 0 ...(3)
(y^2+λ2^2)^(0.5)-(y+λ2) = 0 ...(4)
四條方程式求解四個未知數 x,y,λ1,λ2
但(3)式可知 x,λ1一定有一個為0
(4)式可知 y,λ2一定有一個為0
所以求解可分段討論如下
(i) x=0, y=0
可得λ1=-11, λ2=-9(不合)
(ii) λ1=0, λ2=0
可得 x=1, y=3,此時F(x,y)=-1
(iii) λ1=0, y=0
可得 x=5.5, λ2=7.5,此時F(x,y)=10.25
(iv) x=0, λ2=0
可得 λ1=2.5, y=4.5,此時F(x,y)=0.25
若不考慮整數解則x=5.5, y=0時 有最大利潤F(x,y)=10.25
若考慮整數解則x=5或x=6, y=0時 有最大利潤F(x,y)=10
結論為Lagrange multiplier沒有比較快
直接求F的極值再考慮x=0, y=0這兩個邊界
可知F(x,0) = -x^2+11x-20 = -(x-5.5)^2+10.25
在x=5.5的地方有極值10.25
考慮整數解在x=5或x=6有極值10
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◆ From: 140.121.146.175