[微積] curl(curl F), grad(F．G), curl(F ×G)

[dqIpb (dqipb)]

想請問一下 課本提到以下這三個等式

1) ▽ ×(F ×G) = (▽．G)F + (G．▽)F - (▽．F)G - (F．▽)G

2) ▽(F．G) = F ×(▽ ×G) + G ×(▽ ×F) + (F．▽)G + (G．▽)F

3) ▽ ×(▽ ×F) = ▽(▽．F) - ▽^2 F

有沒有比較有規則的推導方式呢? 除了兩邊展開相等以外?

因為像

▽ ×(▽ψ) = 0, ▽．(F ×G) 等許多等式在 differential forms 的符號下會變成

d^2ψ = 0

  ▽．(F ×G)   (▽ ×F)．G    -    F．(▽ ×G)
d(λ_F ^ λ_G) = dλ_F ^ λ_G  -  λ_F ^ dλ_G

很有規律...(λ_F, λ_G 是與向量場 F, G 相關連的 1-form)

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◆ From: 61.217.33.159
推 qna         :最規則就是張量展開  不過 dd=0 可以用積分去證
→ qna         :(邊界的邊界為0)
→ dqIpb       :看來不學tensor不行orz....謝謝q大!
→ harveyhs    :如果是工數的程度，這邊提供一點直覺的想法：
→ harveyhs    :▽具有微分與向量兩種性質，所以在做這種三重積時
→ harveyhs    :先考慮微分的性質，以萊布尼茲法則分成兩項
→ harveyhs    :再依那些三重積的向量等式展開，結果如JohnMash大的
→ harveyhs    :作法。不過要注意算子是作用在誰身上就是了