Re: [中學] 數題矩陣

[yueayase (scrya)]

※ 引述《Roronoa828 (羅羅亞)》之銘言：
: 前提:x、y為實數，A、B、C為n階方陣，I為n階單位方陣，O為n階零方陣
: 1.
: 下列敘述何者正確?
: (A) A(xB+yC)=xAB+yAC
: (B) (A+xI)^2=A^2+2xA+x^2
: (C) 若AB=O，則A=O或B=O
: (D) 若A^2=I，則A=I或A= -I
: (E) 若det(2A)=3*(2^n+1)`,則det(A^3)=216
: 2.
: 設3平面x+y-z=p，2x-y+2z=q，x-2y+pz=1
:            x-a     y+2     z-c
: 交於一線L:----- = ----- = -----
:             L       M       N
: 則序組(p,q)=(__，__)  ，a+c+m+n=?
: 3.
: 已知矩陣A滿足
:    x y                 p q
: A〔   〕 =〔3 5〕 ，A〔   〕 =〔4 7〕
:    z u                 r s
:      2x+3p  2y+3q
: 則A〔            〕 = ?
:      2z+3r  2u+3s

1.
(A) A(xB+yC) = xAB + yAC (V)
(B) 因為 AI = IA

          2   2      2 2   2       2
    (A+xI) = A +2xA+x I = A +2xA +x I (如果你指的是這個結果,對)
                                      (否則是錯的,因為實數和矩陣不可加)

(C) 若 A = B = [0 0 ....1]
               [0 0 ....0]
               [.....    ]
               [0 ......0]


    則 AB = O, 但 A ≠ O, B ≠ O (X)


    註:這是遇到Jordan Canonical Form必定會看到的矩陣,它是一個nilpotent matrix

     2       2         2   2
(D) A = I = I    =>   A - I  = (A+I)(A-I) = O

    令 B = A- I => (B+2I)B = O

        2
    => B = -2B

    為求簡化假設n=2, B = [b1 0]
                         [0 b2]


    => b1(b1+2) = b2(b2+2) = 0
    可假設 b1 = -2, b2 = 0


    => A-I = [-2 0], A+I = B+2I = [0 0]
             [ 0 0]               [0 2]

                          2
    => (A-I)(A+I) = O => A = I

    但 A = [-1 0] ≠ I or -I (X)
           [0  1]

               n            n                       -n
(E) det(2A) = 2 det(A) = 3(2 + 1) => det(A) = 3(1+2   )

            3            3         -n 3
    => det(A ) = [det(A)]  = 27(1+2 )   ,是一個n的函數(X)

                               n+1
    但如果你指的是det(2A) = 3x2    => det(A) = 6

            3
    => det(A ) = 216 (V)


2.
   利用Cramer's rule和衍生出的結果

   | 1  1 -1|       | 3  1 -1|
   | 2 -1  2| = 0,  | q -1  2| = 0
   | 1 -2  p|       | 1 -2  p|


   可解得 p = 3, q = 4


   則三平面為

   x+y-z=3
   2x-y+2z=4
   x-2y+3z=1

   因為(a,-2.c)落於交線上,

   a-2-c=3
   2a+2+2c=4
   a+4+3c=1

   可解得 a = 3, c = -2


   交線的方向向量必和三平面的法向量垂直

   任取兩平面法向量外積可得(1,-4,-3)


   => x = 3 + t
      y = -2-4t
      z = -2-3t

   => x-3   y+2        z+2
      --- = ----- =  ------
       t     -4t       -3t


   => L = t, M(m?) = -4t, N(n?) = -3t

   a+c+m+n = 1-7t, t為任意實數(不知L,M,N的限制?)


3.
   2x+3p  2y+3q        2x   2y     3p  3q
A〔            〕 = A([       ] + [      ])
   2z+3r  2u+3s        2z   2u     3r  3s

                        x  y    p  q
                  = A(2[    ]+3[    ])
                        z  u    r  s

                        x  y       p  q
                  = 2(A[    ])+3(A[    ])
                        z  u       r  s

                  = 2 [3 5] + 3 [4 7]

                  = [14 31]


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◆ From: 111.251.160.214
推 Roronoa828  :第ㄧ題的B不是矩陣+矩陣嗎  哪裡有實數+矩陣@@?
→ Roronoa828  :第一題E不太懂..
→ Roronoa828  :第2題答案是常數耶..  而且我已經原題打上了
→ Roronoa828  :沒有額外限制/條件
推 LPH66       :(1B) 他指的是最後那一項 x^2 是不是應為 x^2*I
→ LPH66       :(1E) 你的 n+1 沒括起來...題目應該是出 n+1 次方
推 Roronoa828  :感謝
→ Roronoa828  :那2呢~?