Re: [中學] 請問一題函數有關 f(x+y)

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《qooyikai (小依子)》之銘言：
: 設函數f(x)滿足:
: 1. 對任何實數x,y,1+f(x)f(y)不等於0 ,
:                f(x)+f(y)
:    且f(x+y)=---------------
:               1+f(x)f(y)
: 2.lim [f(x)/x]=1
:   x->1
: 求證(1)f'(x)存在
:     (2)f(x)=-f(-x)
: 請會的大大幫忙算一下吧  感謝QQ

代入y=0，整理得 f(x)^2 f(0)=f(0)
故 f(0) = 0 或 f(x)=+-1, 後者和2.矛盾

代入y=-x, 則0=f(0)=...，得f(x)+f(-x)=0，得證2)

2.相當於f'(0)存在，設對任意y，設
g(x)=f(x+y)=1.之右式，則在x=0微分得 g'(0)存在
可是這就是f'(y)，得證1)


其實：
代入y=x=t/2，利用平均不等式可得 |f(t)|<=1
又可驗證若 f(t)=1，則代入y=t可得f(x)=1 for all x
若f(t)=-1亦得f(x)=-1 for all x.，這兩個解都不滿足2.

代換 h(x) = tanh^-1 f(x)
可得 h(x+y) = h(x)+h(y)

這個方程在一些很弱的條件下可得h(x)=h(1)x = Ax, A 常數
(如本題中 f'(0)存在→h在0連續，這樣就足夠了)

故 f(x) = tanh Ax, ，代回2.驗證 A=1, f(x)=tanh x.

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.84.61.201
※ 編輯: LimSinE         來自: 219.84.61.201        (06/01 16:24)
推 qooyikai    :非常謝謝你的解釋~ 我在自己研究研究^^
推 gj942l41l4  :簽名檔是什麼意思啊@@?
推 obelisk0114 :等角螺線