推 qooyikai :非常謝謝你的答覆^^ 06/02 01:16
→ RAINDD :我回答的題目是「x→0」，不是「x→1」。 06/02 01:24
→ RAINDD :若是「x→1」的已知條件，還需要證明f'(0)存在。 06/02 01:25
→ RAINDD :舉例：f(x)=√(x)，則f(0)=0，但f'(0)卻不存在。 06/02 01:29
※ 引述《qooyikai (小依子)》之銘言：
: 設函數f(x)滿足:
: 1. 對任何實數x,y,1+f(x)f(y)不等於0 ,
: f(x)+f(y)
: 且f(x+y)=---------------
: 1+f(x)f(y)
: 2.lim [f(x)/x]=1
: x->0
: 求證(1)f'(x)存在
: (2)f(x)=-f(-x)
: 請會的大大幫忙算一下吧 感謝QQ
對任意實數f(x)皆滿足f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1+f(x)f(y))，
取 x = y = 0 代入第一已知，得 f(0)*(f(0)-1)*(f(0)+1) = 0，故 f(0)=0,1,-1。
滿足第二已知之解唯有f(0)=0，f(0)存在。
First:
f(x+h) - f(x)
f'(x) = lim --------------- = (一連串整理並代入已知條件)
h->0 h
= 1 - (f(x))^2 ，是故 f(x) 存在，則 f'(x) 亦存在。
Second:
f(x-x) = (f(x)+f(-x)) / (1+f(x)f(-x)) = 0 ，所以 f(x) = -f(-x)
Third:
f' = 1 - f^2，此為一階微分方程式，
且由已知條件獲得兩初始條件：f(0)=0，f'(0)=1，分離變數可解得
exp(x)-exp(-x)
f(x) = --------------- ≡ tanh(x)，
exp(x)+exp(-x)
可將解得之f(x)代回題目之已知條件與所求問題驗證正確性。
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※ 編輯: RAINDD 來自: 122.126.124.213 (06/02 00:20)