[代數] 幾題Field

[air11 (拿出一張白紙...)]

大家早~
小弟我想了幾題體論的題目好幾天了，但有些還是有問題，所以想請教各位大大

1. Let F be a field, and let α be an elemant that generates a field
   extension of F of degree 5. Prove that α^2 generates the same extension

   這題我的想法是，因為F(α)會比F(α^2)大，所以直接用乘法公式
   [F(α):F] = [F(α):F(α^2)][F(α^2):F] = 5
   所以[F(α):F(α^2)] = 1 or 5
   如果[F(α):F(α^2)] = 1，則可以推到 F(α) = F(α^2)
   如果[F(α):F(α^2)] = 5，則[F(α^2):F] = 1
   再來就沒什麼頭緒了....


2. Let α & β be complex roots of irreducible polynomials f(x) and
   g(x) in Q[x]. Let K=Q(α) and L=Q(β). Prove that f(x) is irreducible
   in L[x] iff g(x) is irreducible in K[x] (Q是有理數)

   這題應該只要會證一邊就夠了，感覺另外一邊的證法一樣。
   如果是證(=>)，我想說用反證法，假設g(x) 在K[x]可分解
   因此可以寫成g(x) = p(x)h(x) with p(α)=0
   因為g(β)=0，所以g(x)在 L[x]可分解
   可是我要怎麼從中得到矛盾？是從p(x)的選取著手嗎??


3. Which subfields of C are dense subsets of C ？ (C是複數體)
   這題就真的不知道該怎麼寫了QQ


請求各位大大的幫忙~~謝謝各位大大 > <

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◆ From: 180.177.113.19
→ OoYAYoO     :ㄜ.F(α):F(α^2)] = 5，則[F(α^2):F] = 1是不可能
→ OoYAYoO     :因為這樣的話 F(α)會變quadratic extension of F
→ OoYAYoO     :第二題可以考慮Q(α,β)和它們OVER Q 的degree
→ OoYAYoO     :考慮[Q(α,β):Q(α)][Q(α):Q]和
→ OoYAYoO     :[Q(α,β):Q(β)][Q(β):Q]在兩種情況的時候
→ OoYAYoO     :第三題我覺得是Q(i)..
→ air11       :第一題我在想能不能寫[F(α^2):F] = 1 implies
→ air11       :F(α^2)=F，可以得到α^2會屬於F，但是α不屬於F而
→ air11       :得到矛盾？  第三題是不是可以用高微dense的概念呢??
→ air11       :還是能否請O大提供想法?
→ OoYAYoO     :第一題可以 這樣[F(α):F]要等於二
→ OoYAYoO     :第三題在Q(i)裡的元素有a+bi的形式 a,b是有理數
→ OoYAYoO     :應該可以證明它會是C的 dense subset
→ air11       :第一題懂了~第三題我在翻一下高微課本，感謝O大 :DD
→ sneak       : Q]和 https://noxiv.com
→ sneak       : F] = 1是不可能 https://daxiv.com