Re: [代數] 柯西不等式適用時機？

[zi98btcc (幼斤)]

※ 引述《zi98btcc (幼斤)》之銘言：
: 以下三題限用柯西不等式，但我無法用柯西不等式算出，
: 1.雙曲線 x^2 - y^2 =1  求 x 範圍？
: 2.橢圓 3x^2+y^2=6 求 x^2+y^2 範圍？
: 3. x^2+y^2+z^2=6 且 x+y+z=0 ， 求 x^3+y^3+z^3 範圍？
: 我更想問，什麼情況適合(不適合)用柯西不等式？如何判斷？
後來有想出來1、2題怎麼做，如下：
1.雙曲線 x^2 - y^2 =1  求 x 範圍？

利用柯西不等式，
(1^2+0^2)(x^2 + y^2)≧(x)^2
原式x^2 - y^2 =1 ---> y^2=x^2-1 代回上式得：
2x^2-1≧x^2 ---> x^2≧1 ---> x≧1 or x≦-1

2.橢圓 3x^2+y^2=6 求 x^2+y^2 範圍？

令x=a+b y=a-b ，則 x^2+y^2=2(a^2+b^2)
原式3x^2+y^2=6 ---> 3(a+b)^2+(a-b)^2=6 --->
4a^2+4b^2+4ab=6 ---> 2ab=3-2(a^2+b^2)
利用柯西不等式，
(1^2+1^2)(a^2+b^2)≧(a+b)^2 --->
2(a^2+b^2)≧(a^2+b^2)+3-2(a^2+b^2) --->
3(a^2+b^2)≧3 ---> (a^2+b^2)≧1 .....(1)
再利用柯西不等式，
(1^2+(-1)^2)(a^2+b^2)≧(a-b)^2 --->
2(a^2+b^2)≧(a^2+b^2)-3+2(a^2+b^2) --->
(a^2+b^2)≦3 ---> (a^2+b^2)≦3 .....(2)
(1)、(2)式合併得 1≦(a^2+b^2)≦3 ---> 2≦2(a^2+b^2)≦6 --->
2≦x^2+y^2≦6

第3題有3次方太高，試了好久沒算出來，不抱希望。

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◆ From: 49.158.186.133
推 thisday     :冏  第三題我亂算了一下算出了定值...
推 thisday     :http://goo.gl/XoLBs
→ zi98btcc    :very good，但是有地方看不懂，
→ zi98btcc    :"t^3+0t^2-3t-(xyz)=0 ,有3根 x," t是什麼？
→ thisday     :t是一個變數 上面那個方程式有三個根x,y,z
→ zi98btcc    :為什麼跑出 t^3-3t-(xyz)=0 ？
→ zi98btcc    :為什麼不是跑出 t^3+t^2+5t-(xyz)=0
推 thisday     :由根與系數 t這個方程式的三根為x,y,z
→ zi98btcc    :還是不懂，t^3+t^2+5t-(xyz)=0 為何不行？
→ thisday     :原本以x,y,z為三根的方程式可以寫成
→ thisday     :(t-x)(t-y)(t-z)=0 乘開之後就是根與係數了
→ thisday     :t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0
→ thisday     :為什麼跑出 t^3+t^2+5t-(xyz)=0
→ thisday     :為什麼不是跑出 t^3-3t-(xyz)=0 ？
→ zi98btcc    :看到(t-x)(t-y)(t-z)=0 我才了解，現在了解了
→ zi98btcc    :會用這種方法還真是令人想不到，又學一招了
→ zi98btcc    :不過第3題能用柯西不等式來算嗎？這是原本的訴求
→ thisday     :我想 應該不用執著於使用Cauchy 第二種微積分做法
→ thisday     :有用到Cauchy喔XD
推 mickeyjan   :用其他作法本來就快多了XD　正因為限定用柯西才難呀~
→ sneak       : 冏  第三題我亂算了一 https://muxiv.com
→ sneak       : 原本以x,y,z為三根 https://daxiv.com