推 herstein :good 06/14 23:39
→ herstein :是zeta-function的值 06/14 23:41
→ MathforPhy :其實也可以用傅立葉 06/14 23:48
→ MathforPhy :我是指Σn^-4這部分 06/14 23:51
推 xupmpxu4 :太感謝了T.T 06/15 00:20
※ 引述《xupmpxu4 ()》之銘言：
: 最近在幫學弟妹寫大學熱傳導課程時
: 寫到Stefan-Boltzmann law時，看到下面這個積分
: 3 4
: x=∞ x π
: ∫ ---------- dx = ----
: x=0 x 15
: (e -1)
: 這是從輸送課本看到的
: 但我看不太懂怎麼出來的
: 想請問板上的朋友們
: 4
: π
: 要怎麼積分才能得到 ---- 這個答案?
: 15
幾何級數展開
∞ -nx ∞ -nx
∫ (x^3)(Σe ) dx = Σ∫ (x^3)e dx let y=nx, dy/n=dx
0 0
1 ∞ -y 1 -y ∞ 6
= Σ---∫ (y^3)e^ dy = Σ---(y^3+3y^2+6y+6)e | = Σ---
n^4 0 n^4 0 n^4
∞ -s
Bernoulli number：ζ(s)=Σ n , take s=4
n=1
4 4
∞ -4 π π
ζ(4)=Σ n = --- --> 6ζ(4) = ---
n=1 90 15
＃
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◆ From: 114.38.168.73