Re: [中學] 圓錐曲線 (橢圓)

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
:                      2          2
:                     x          y
: 假設P兩點在橢圓   ______ +   ______  =  1  上
:                      2           2
:                     a          b
: 且OP垂直OQ (O為原點)
:            1           1
: 試證明  ________  + ________ 是一定值
:              2           2
:            OP          OQ

設P=(r,s) Q=(st,-rt)

因為P在橢圓上
b^2r^2 + a^2s^2 = a^2b^2 ----(1)

Q在橢圓上
(b^2s^2 + a^2r^2)t^2 = a^2b^2 -----(2)

(1)t^2 + (2)
=> (a^2 + b^2)(r^2 + s^2)t^2 = a^2b^2(1+t^2) ------(3)

所以
1/OP^2 + 1/OQ^2

= 1/(r^2 + s^2) + 1/[(r^2 + s^2)t^2]

= 1/(r^2 + s^2) * (1+t^2)/t^2

= (a^2 + b^2)/(ab)^2 = 定值

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