剛剛想到一個更快的方法
或者利用
下方(1')(2')
-x-2y-1 -x+y-1
k = ----------- = ------------------
x+y-2 3x+7y-3
=> 2x^2 + 13xy +15y^2 + x -2y -1 = 0
=> (x+5y+1)(2x+3y-1) = 0
因為2x+3y-1 = 0剛好是點A點B的連線
排除掉2x+3y-1=0的情況後(Δ=0)
就剩x+5y+1=0
---------------------------------------------
以下方法雖然不見得快
但是有幾何圖像
※ 引述《harold1018 ( )》之銘言：
(k+1)x + (k+2)y =2k-1 --------- (1) 稱L1
k[x+y-2] + [x+2y+1] = 0 ----------(1')
過點A(x,y) = (5,-3)
(3k+1)x +(7k-1)y = 3k-1 ---------(2) 稱L2
k[3x+7y-3] + [x-y+1] = 0 -------(2')
過點B(x,y) = (-2/5,3/5)
現在的重點是題目竟然用了相同的k
這加了很強的限制
滿足 x+5y=-1的(x,y)可用(-1-5t,t)
代入上方二式
(k+1)(-1-5t) + (k+2)t -2k+1=0
=> (4k+3)t = -3k ------(3)
(3k+1)(-1-5t) + (7k-1)t -3k+1 = 0
=> (8k+6)t = -6k ------(3')
(3)跟(3')一樣
表示如果(1)(2)聯立有解的話
[註:同理假如題目反過來問你k_1,k_2之間的關係使解滿足x+5y=-1
用相同的方式可以得到k_1=k_2]
滿足x+5y=-1的解必滿足(1)(2) => 這也是為何k_1=k_2=k
但是題目是問除了特定k值外，解「必」滿足x+5y=-1
所以我們要排除特定k值
(i)如果(4k+3)=0
由(3)之0*t=9/4 明顯不合
以上對應L1與x+5y=-1平行 + L2與x+5y=-1平行
也就是找不到L1和x+5y=-1的交點及L2和x+5y=-1的交點
注意此例AB連線L3並不平行於x+5y=-1
Δ(L1,x+5y=-1) = 0 => k = -3/4
Δ(L2,x+5y=-1) = 0 => k = -3/4
(ii)L1、L2同一條線(當然相互平行)，即過A,B的L3
因為此例的L3與x+5y=-1不平行
所以必有一交點
但是L3上的其他點不在x+5y=-1
所以我們必須排除這種情況(k=1)
以上兩種情況均包含於Δ(L1,L2)=(4k+3)(k-1)=0 => k = -3/4, 1
總結
檢查x+5y=-1上的點是否都能滿足(1)(2)
排除掉L1,L2平行的情況
: 多重選選項
: (4)若k不等於1或-3/4, 解必滿足x+5y=-1
: 此選項是正確的
: 請問該怎麼算？ 謝謝
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