1.f(x)={(x^α)sin(1/x) x≠0
{ 0 ,x=0
試決定α之範圍 使f的二階導函數處處連續.
想法:微分微兩次 用連續的delta-epsilon去證
可是微完發現超醜 不知道有沒有其他方法? 這題很沒有想法=..=
∞
2.f(x)=exp(x^2)*∫ exp(-t^2)dt
x
試求(1)lim f(x) (2)f'(x) (3)試證f在(0,∞)遞減
x→∞
作法:
∞
(1) ∫ exp(-t^2)dt
x L -exp(-x^2)
lim ----------------- (0/0) = lim --------------- = 0
x→∞ exp(-x^2) x→∞ (-2x)exp(-x^2)
(2) ∞ ∞
exp((x+h)^2)*∫ exp(-t^2)dt - exp(x^2)*∫ exp(-t^2)dt
f(x+h)-f(x) x+h x
lim ----------- = lim---------------------------------------------------
h→0 h h→0 h
x
d/dh [ (√π)/2 -∫ exp(-t^2)dt) ]
0
↑他是
∞ ∞
2(x+h)exp((x+h)^2)*∫ exp(-t^2)dt +exp(x^2)(d(∫exp(-t^2)dt)/dh)
L x+h x
(0/0) = lim ----------------------------------------------------------------
h→0 1
∞
=2xexp(x^2)∫exp(-t^2)dt -1
x
解到這我超興奮 因為我得到f'(x)=2xf(x)-1
然後解微分方程
[exp(-x^2)*f(x)]' = exp(-x^2)
=> f(x)= exp(x^2)∫exp(-x^2)dx 等等..... 這不就回到題目了嗎 囧
然後就卡關了 所以第2小題和第3小題都作不出來
感謝各位高手指點......!!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.44.120.243
※ 編輯: craig100 來自: 114.44.120.243 (06/24 04:49)