※ 引述《RedQ (小Q)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Grad-ProbAsk 看板 #1Fv7l0zU ]
: 作者: honestonly (努力增胖的小R) 看板: Grad-ProbAsk
: 標題: [理工] [工數]-二階非線性ODE & 一階高次ODE
: 時間: Fri Jun 22 22:05:49 2012
: (1)
: 2
: d y
: a ---- + bcosy - c = 0; a, b, c是常數
: 2
: dt
:
: 求 y(t) = ?
Let z = y' = dy/dt
=> d^2 y/dt^2 = y'' = (y')' = z' = dz/dt = (dz/dy)(dy/dt) = z(dz/dy)
a z(dz/dy) + (bcosy - c) = 0
a 2zdz + 2(bcosy - c)dy = 0
a z^2 + 2(bsiny - cy) = a C1
z^2 + (2/a)(bsiny - cy) = C1
z^2 = C1 + (2/a)(cy - bsiny) = (dy/dt)^2
dt/dy = ± [ C1 + (2/a)(cy - bsiny) ]^(-1/2)
dt = ± [ C1 + (2/a)(cy - bsiny) ]^(-1/2) dy
y(t)
( t + C2 ) = ± ∫ [ C1 + (2/a)(cτ - bsinτ) ]^(-1/2) dτ
1
2 y(t) 2
( t + C2 ) = { ∫ [ C1 + (2/a)(cτ - bsinτ) ]^(-1/2) dτ }
1
DSolve[a y''[t] + b Cos[y[t]] - c == 0, y[t], t]
Solve[
2 y[t] 2
( t + C[2] ) = { ∫ ( C[1] + (2/a)(cK[1] - bsinK[1]) )^(-1/2) dK[1] }
1
,y[t]]
隱函數型式，且有平方
( τ 在 Mathematica 裡以 K[1] 表示 )
: (2)
: dy 2
: cy - bsiny = a(----) ; a, b, c是常數
: dt
: 求 y(t) = ?
a z^2 = ( cy - bsiny )
z^2 = (1/a)( cy - bsiny ) = (dy/dt)^2
(dt/dy)^2 = [ (1/a)( cy - bsiny ) ]^(-1)
dt/dy = ± [ (1/a)( cy - bsiny ) ]^(-1/2)
dt = ± [ (1/a)( cy - bsiny ) ]^(-1/2) dy
y(t)
t = C[2] ± ∫ [ (1/a)( cy - bsiny ) ]^(-1/2) dτ
1
2 y(t) 2
( t - C2 ) = { ∫ [ (1/a)(cτ - bsinτ) ]^(-1/2) dτ }
1
DSolve[c y[t] - b Sin[y[t]] == a (y'[t])^2, y[t], t]
得到 y 是 t 的 InverseFunction (有2個解，所以才用平方)
y[t] → InverseFunction[
y[t]
∫ ( (1/a)(cK[1] - bsinK[1]) )^(-1/2) dK[1] &] [(-t/√a) + C[1]]
1
]
or
y[t] → InverseFunction[
y[t]
∫ ( (1/a)(cK[1] - bsinK[1]) )^(-1/2) dK[1] &] [(t/√a) + C[1]]
1
]
或用下式解之
DSolve[1/(c y - b Sin[y]) == 1/a (t'[y])^2, t[y], y]
y[t]
t[y] → C[2] ± ∫ ( (1/a)( cK[1] - bsinK[1] ) )^(-1/2) dK[1]
1
得到 t 是 y 的 Function (有2個解，所以才用平方)
( τ 在 Mathematica 裡以 K[1] 表示 )
之所以會有殘留積分項是因為此積分無法以初等函數表示
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