推 ak47love77 :沒想到那麼簡單 好猛 06/25 09:40
推 jollic :太感謝 06/25 10:07
※ 引述《jollic (jollic)》之銘言：
: 現有一個 n 維且每個元素為正的變異數矩陣 (covariance matrix)
: ( 即對稱矩陣，且為半正定矩陣 )
: 證明
: 它最大的eigenvalue所對應到的eigenvector
: 每一個分量都是同號 ( 全正或全負 )
: 這個題目完全就是沒想法
: 只知道寫幾個簡單特殊的case去算一算而已= =
: 麻煩大家幫我指引明路
: 謝謝
假令所討論的矩陣為A
首先由對稱矩陣知道，若最大特徵值為 λ_M 那
x'Ax
λ_M ≧ ------
x'x
( ' 記號表示轉置
至於證明可將 x 表示成 A 的orthonormal basis之線性組合得之 )
顯然等式在 x 為 λ_M 的特徵向量時是成立的
(Hypothesis) 若某一 x 可以使等號滿足 且其中有一些分量為負，另一些為正
我們以 x+ 表示將 x 所有分量調成其絕對值
那 (x+)'(x+) = x'x
但 (x+)'A(x+) > x'Ax (因為 A 元素全為正)
故此與 x 之定義矛盾
Hypothesis 錯誤
證畢
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◆ From: 140.112.243.136