推 yyc2008 :請問entry全正保證最大入>0? 06/25 09:27
→ jollic :樓上問題你可以用sum(λi)=tr(A)>0,所以最大λ一定要 06/25 10:09
→ jollic :比零大 06/25 10:09
→ yyc2008 :謝謝樓上 06/25 12:02
已經有人給出證明了，我想到一個比較幾何的說明方式：
以 2x2 矩陣為例子，因為 M 的每個 entry 都是正值
不難看出，令 {u++} 代表所有第一象限的向量集合，
假設經過 M 的線性映射後，這些向量變成 {Mu++}
還是會留在第一象限，也就是 {Mu++} 會屬於 {u++}
事實上，{Mu++} 的範圍就是被 M(e1) 和 M(e2) 兩個向量的方向所包圍的區域 ---(i)
e1 = [1,0]', e2 = [0,1]'
(i) 的證明可以利用 M 的線性映射。幾何上很好想像，
代數上要簡明的說比較難，大約是把這個區域看成 {u+.} 跟 {u.+} 映射後的交集
其中 {u+.} 是 x>0 的向量集合， {u.+} 是 y>0 的向量集合
回到 2x2 矩陣，要證明的是 top eigenvector 也會屬於 {u++} 的集合
在幾何上 M 可以看成把單位圓映射到橢圓的操作，
而 top eigenvector 的方向就是橢圓的長軸
因為 M(e1) 和 M(e2) 都映射到第一象限，圖形上可以看出橢圓長軸也會在第一象限
比較嚴謹的說法是：
假設 {c++} 和 {c+-} 分別是單位圓和第一，第二象限的交集
因為 M 所有 entry 都是正的， max|{Mc++}| >= max|{Mc+-}|
這說明了 top eigenvector 會在 {c++} 集合裡面。
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n 維的狀況其實類似，只是橢圓變成 n 維橢球
同理，全正卦限 {u+...+} 同樣會被 M 映射到 {u+....+} 的子集
這個子集是由 n 個向量 M(e1), M(e2), ... M(en) 圍出的區域
圍的方法也是考慮 {u+...}, {u.+...}, {u..+...} 這 n 個集合映射後的交集
然後同理證明 max|{Mc+...+}| >= max|M{其餘含負號的卦限}|
※ 引述《jollic (jollic)》之銘言：
: 現有一個 n 維且每個元素為正的變異數矩陣 (covariance matrix)
: ( 即對稱矩陣，且為半正定矩陣 )
: 證明
: 它最大的eigenvalue所對應到的eigenvector
: 每一個分量都是同號 ( 全正或全負 )
: 這個題目完全就是沒想法
: 只知道寫幾個簡單特殊的case去算一算而已= =
: 麻煩大家幫我指引明路
: 謝謝
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※ 編輯: microball 來自: 216.165.95.72 (06/25 06:57)