推 craig100 :感謝!! 06/25 16:13
※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
: 1.f(x)={(x^α)sin(1/x) x≠0
: { 0 ,x=0
: 試決定α之範圍 使f的二階導函數處處連續.
: 想法:微分微兩次 用連續的delta-epsilon去證
: 可是微完發現超醜 不知道有沒有其他方法? 這題很沒有想法=..=
這是基本應用微分定義的問題
f(x) = {g_1(x) x≠0
{f(0) x=0
利用分段函數分別求出導函數在此二區域的函數行式及值
x≠0用一般函數微分
x=0採用f'(0) = lim [g_1(x)-f(0)]/(x-0)
x→0
兩種值必須相等才保證函數處處連續
但是f'(x), f"(x)在x=0都要特別小心
g_1'(x)和g_1"(x)的三角函數項必須配上x的指數項
用夾擠定理分別對g_1'(x),g_1"(x),f'(0),f"(0)限制α的條件
取交集就得到結果
: ∞
: 2.f(x)=exp(x^2)*∫ exp(-t^2)dt
: x
: 試求(1)lim f(x) (2)f'(x) (3)試證f在(0,∞)遞減
: x→∞
: 作法:
(1)對
: (2) ∞ ∞
: exp((x+h)^2)*∫ exp(-t^2)dt - exp(x^2)*∫ exp(-t^2)dt
: f(x+h)-f(x) x+h x
: lim ----------- = lim---------------------------------------------------
: h→0 h h→0 h
: x
: d/dh [ (√π)/2 -∫ exp(-t^2)dt) ]
: 0
: ↑他是
: ∞ ∞
: 2(x+h)exp((x+h)^2)*∫ exp(-t^2)dt +exp(x^2)(d(∫exp(-t^2)dt)/dh)
: L x+h x
: (0/0) = lim ----------------------------------------------------------------
: h→0 1
: ∞
: =2xexp(x^2)∫exp(-t^2)dt -1
: x
到以上這一步就可以了，題目本身積分式也沒有求出來
: 解到這我超興奮 因為我得到f'(x)=2xf(x)-1
: 然後解微分方程
: [exp(-x^2)*f(x)]' = exp(-x^2)
: => f(x)= exp(x^2)∫exp(-x^2)dx 等等..... 這不就回到題目了嗎 囧
微分方程本來就是求解微分的反運算
如果回頭解微分方程(含initial condition)得到的不是原函數
那才有問題
(3)才是重點 以下討論的x > 0
∞
令F(x) = ∫exp(-t^2)dt > 0 , F(0) = √π /2
x
F'(x) = -exp(-x^2) < 0 , F"(x) = 2xexp(-x^2) > 0 (x > 0)
又F"(x) = -2xF'(x) > 0
f(x) = -F(x)/F'(x)
f'(x) = 2xf(x) - 1 = -[2xF(x) + F'(x)]/F'(x) = [-1/F'(x)]G(x)
G(x) = 2xF(x) + F'(x)
G(0) = -1 , G'(x) = 2F(x) + 2xF'(x) - 2xF'(x) > 0
類似(a) lim G(x) = 0
x→∞
所以G(x) < 0 => f'(x) < 0
因此f(x)在(0,∞)嚴格遞減
: 然後就卡關了 所以第2小題和第3小題都作不出來
: 感謝各位高手指點......!!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 128.220.147.220