Re: [微積] 旋轉表面積 & 一題積分 - 急，一題200P

[PaulErdos (My brain is open)]

※ 引述《tanaka0826 (田中鬪莉王)》之銘言：
: 1.
: 求 ( x^2 + y^2 ) ^2  =  a^2  ( x^2 - y^2 )  之曲線繞y軸旋轉之表面積？
: 這一題完全卡住，試著分離出x或是用隱微分都做不出來...
: Ans: 2√2 πa^2

              4   2 2    2      2       2   2
寫成極座標 , r ＝a r (cosθ－sinθ) => r ＝a cos(2θ)


dr    asin(2θ)
─ ＝ ─────
dθ   √cos(2θ)

      ＿＿＿＿＿          a dθ
ds＝√r^2＋r'^2 dθ＝ ─────
                      √cos(2θ)


 π/4
2∫    2π rcosθ ds
  0


      2 π/4               ＿    2
＝4πa  ∫  sinθ dθ ＝2√2  πa
         0




: 2.
:     x^2      y^2
: 求 ─── + ───  =  1  之曲線繞x軸旋轉之表面積？
:     a^2      b^2
:                                          a^2 + b^2      b^2 - a^2
: 這一題則是列式之後變成 2πb∫sinθ √ ( ────── + ────── cos 2θ)dθ
:                                              2              2
: 但是積分卡住...
:                 2πa^2 b         b+√(b^2-a^2)
: Ans: 2πb^2 + ──────   ln | ─────  |
:                √(b^2-a^2)             a

x＝acosθ , y＝bsinθ

      ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ds＝√a^2sin^2θ＋b^2cos^2θ dθ


表面積為

     π       ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
 2π∫bsinθ√a^2sin^2θ＋b^2cos^2θ dθ
     0

我想到目前為止你都與我相同

但我不用半角公式

我寫成

     π      ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2πb∫sinθ√a^2＋(b^2－a^2)cos^2θ dθ
     0

       1   ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝2πb∫ √a^2＋(b^2－a^2)u^2 du
      -1


我們來處理那個積分 , 先不管2πb

                       2   2
為了簡便, 設 A＝a, B＝b －a


  1  ＿＿＿＿＿＿               A
2∫√A^2＋B^2u^2 du   , let u＝ ─tanα
  0                             B

      2
    2A   k    3                      B
＝ ── ∫ secα dα    ,  k＝arctan(─)
    B    0                           A


    2
   A                                   k
＝ ─ [ tanαsecα＋㏑(tanα＋secα)  ]
   B                                   0

    2        ＿＿＿＿＿               ＿＿＿＿＿
   A   B    / A^2＋B^2         B     / A^2＋B^2
＝ ─ [─  /  ────  ＋㏑ ( ─＋ /  ────  )]
   B   A  √    A^2            A   √    A^2

          2          ＿＿＿＿           ＿＿＿＿
         a        b√b^2－a^2         √b^2－a^2＋b
＝ ────── ( ────── ＋ ㏑ (───────) )
   √(b^2－a^2)       a^2                    a

              2            ＿＿＿＿
             a           √b^2－a^2＋b
＝ b ＋ ──────  ㏑(───────)
        √(b^2－a^2)           a





所以原式就是

              2             ＿＿＿＿
    2    2π a b          √b^2－a^2＋b
2πb ＋ ──────  ㏑(───────)
       √(b^2－a^2)           a







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◆ From: 140.112.4.183
推 tanaka0826  :感謝，我先研究一下~
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.4.183        (06/30 16:22)
推 Strogatz    :果然是A man who loves numbers...:D
推 silentchaos : 哈 兩題跟你算的答案一樣 不過不太確定就沒PO了XD
推 tanaka0826  :原來如此 我懂了  感謝m(_ _)m