→ Frank000 :有點問題,考慮線的位置FG,EH的長度表示是可能要加絕 06/30 22:49
→ Frank000 :對值 06/30 22:50
→ Frank000 :表示式 06/30 22:51
※ 引述《niwota (你我他)》之銘言：
: ※ 引述《Mordekaiser (魔鬥凱薩)》之銘言：
: : 1. 三角形ABC中，AB=33cm, AC=21cm, BC=m cm, m為整數
: : 已知可以在AB中取一點D, AC中取一點E使得AD = DE = EC = n cm, n為整數
: : 請問m可以取哪些值？
: 三角不等式 33-21 < m < 33+21 ==> 12 < m < 54
: AD = DE = EC = n n < AC = 21
: 假設角A = θ ==> 三角形ADE為等腰，AE = 2n * cosθ
: AC = AE + EC ==> 2n * cosθ + n = 21 ==> cosθ = (1/2)(21/n - 1)
: m^2 = 21^2 + 33^2 - 2*21*33*cosθ
: = 1167 - 21*33*(21/n - 1) 為完全平方數
: 21*33*21/n 為整數 n=1,3,7,9,11,21
: 又 cosθ = │(1/2)(21/n - 1)│<= 1
: n = 7,9,11,21
: n=7 ==> m^2 = 144 ==> m = 12 (不合)
: n=9 ==> m^2 = 606
: n=11 ==> m^2 = 900 ==> m = 30
: n=21 ==> m^2 = 1167
: m = 30
: : 2. 以一條直線畫過兩同心圓，且依序交於A, B, C, D.
: : AE與BF分別是兩圓的弦，且兩弦平行。
: : 在BF上取一點G使GC垂直BF，在AE上取一點H使DH垂直AE。
: : 證明GF = HE
: : 3. 令f(n)是以下數列中，前n項的和。
: : 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, …
: : (1) 請給出f(n)
: : (2) 證明對所有正整數s, t且s > t，f(s+t)-f(s-t) = st
: (1) n 為奇數 f(n) = (1+2+3...+(n-1)/2) *2 = (n^2-1)/4
: n 為偶數 f(n) = (1+2+3...+(n-1)/2) *2 + (n/2) = (n^2-1)/4 + n/2
: 偶數比奇數多 n/2 ==> f(n) = (n^2-1)/4 + (└n/2┘+┌(n-2)/2┐)*(n/2)
: 上高斯 下高斯
: (2) s+t , s-t 同為奇數或同為偶數
: 如果為奇數，f(s+t)-f(s-t) = (s^2+2st+t^2-1)/4 - (s^2-2st+4^2-1)/4 = st
: 同理如果為偶數代入也為st
第二題
把圖畫好後
假設
角BOC=2x
角AOD=2y
角EAD=角FBC=z
小圓半徑r
大圓半徑R
由此可算出
BC=2rsinx
AD=2Rsiny
BF=2rsin(x-z)
AE=2Rsin(y-z)
BG=BCcosz=2rsinxcosz
AH=2Rsinycosz
FG=BG-BF=2rcosxsinz
EH=2Rcosysinz
但Rcosy=rcosx=O到那條線的距離
所以FG=EH
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