Re: [微積] 積分

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《noyl91 (azure)》之銘言：
:         x
: g(x) =∫  100(t^2-3t+2)exp(-t^2) dt
:         1
: 試判斷g(3)是否大於零。
:         3
: 我算到∫  exp(-t^2) dt的時候卡住了...
:         1
: 有想過換極座標，但是不確定r的上下限怎麼取...

上下限又非無窮大
換成極座標毫無用處

: 還請各位幫忙給個方向，
: 或是有其他判斷方式的也可以，
: 謝謝大家！

g(1) = 0

g'(x) = 100(x-2)(x-1)exp(-x^2) 在1~2 < 0  在2~3 > 0

所以只需要比較
|100(t^2-3t+2)exp(-t^2)|的積分I_1 從1~2
及從2~3 的積分I_2誰大誰小

如果I_2 > I_1 g(3) > 0
如果I_2 < I_1 g(3) < 0

      3          2
I_2 =∫f(t)dt = ∫(t)(t-1)exp(-2t-1)exp(-t^2)dt
      2          1
       2          2
I_1 = ∫f(t)dt = ∫-(t-1)(t-2)exp(-t^2)dt 加負號是為使積分為正以比較I_1I_2誰大
       1          1

              2
I_2 < exp(-3)∫(t)(t-1)exp(-t^2)dt
              1

以下討論均只對於t=1~2的區間

設p(x)=exp(-3)t(t-1)於此區間為遞增函數,最大值p(2)=2exp(-3) p(1)=0
  h(x)=-(t-1)(t-2)於此區間為對稱拋物線 h(1)=h(2)=0 最大值h(3/2)=1/4
1/4 > 2exp(-3)

稍微畫一個圖
可知除t=1外，另一個交點在3/2右側t=k
h > p 當 t < k
h < p 當 t > k
會發現
 k                          k                        2
∫[h(t)-p(t)]exp(-t^2)dt > ∫[h(t)-p(t)]exp(-k^2)dt > ∫[p(t)-h(t)]exp(-k^2)dt
 1                         2-k                       k
    2
 > ∫[p(t)-h(t)]exp(-t^2)dt
    k

註解
粗略取k=1/4 exp(-3)大概取20
第二個積分值大概是(1/2)[1/4-2exp(-3)]exp(-1/16) = 0.075exp(-1/16)
第二個積分值大概是(1/4)[2exp(-3)]exp(-1/16) = 0.025exp(-1/16)

所以

 k                          2
∫[h(t)-p(t)]exp(-t^2)dt - ∫[p(t)-h(t)]exp(-t^2)dt
 1                          k
   2
= ∫[h(t)-p(t)]exp(-t^2)dt > 0
   1

=> I_1 > I_2


所以g(3) < 0

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◆ From: 128.220.147.108
推 noyl91      :感謝你!但考試的時候似乎不適用這種解法~"~
→ noyl91      :(1,2)、(2,3)區間面積比大小那裏我沒想過^^
→ Honor1984   :那適用什麼方法? 你如果真的了解 畫個圖就知道了
→ Honor1984   :只是為了解說 寫得很繁
推 noyl91      :我意思是說我考試的時候應該想不到這麼詳實的解法Orz
→ noyl91      :剛剛有把圖畫出來，了解你的解法了，很厲害 =口=