Re: [機統] 一題期望值證明

[Lpspace (Danny)]

※ 引述《laba5566 (最愛56家族 啾咪)》之銘言：
: let X be a random variable  and  α > 0
: if n^α * Prob (|X| > n)  → 0  as n → ∞    (*)

forall ε>0 exist M>0 s.t.
y^aP(|X|>y)<εas y>M

: show that  E( |X|^{α-δ} ) < ∞  where 0 < δ <α
: 感覺不難 可是做不出來卡好久
: 嘗試將 E( |X|^{α-δ} ) 拆成
: E( |X|^{α-δ} 1(|X| ≦ n) ) + E( |X|^{α-δ} 1(|X| > n) )
: 1(.)  是 indicator function
: 但是第二項還是沒辦法利用給定的條件 (*) 去消掉
: 懇請版上高手給點提示或想法
: 感激不盡 m(_ _)m

                ∞
E[|X|^{a-δ}]=∫  (a-δ)y^{a-δ-1}P(|X|>y)dy
               0
   ∞
=∫  (a-δ)y^{-δ-1}y^{a}P(|X|>y)dy
  0
   M
=∫  (a-δ)y^{-δ-1}y^{a}P(|X|>y)dy
  0
     ∞
  +∫  (a-δ)y^{-δ-1}y^{a}P(|X|>y)dy
    M
            ∞
<finite+ε∫  (a-δ)y^{-δ-1}dy
           M
by p-series the last term is finite.

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◆ From: 140.112.51.107
→ laba5566    :感謝 Lp大 m(_ _)m