Re: [中學] 因倍數和質數

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《obelisk0114 (追風箏的孩子)》之銘言：
: p為質數,n為任意的自然數
: 試證明(1 + n)^p - n^p - 1 必可被p整除
: 我用二項式定理打開n次以後就不知道怎麼使用質數條件
: 請各位開釋

用二項式定理定理展開後

p-1
 ΣC(p,k)n^k
k=1

C(p,k) = p * (p-1) * .... (p-k+1)/[1 * 2 * ... k] , k = 1 ~ (p-1)

因為p是質數 (假定你承認C(p,k)為整數的話)

計算C(p,k)時p絕對不可能是1~k的倍數

C(p,k) = p * 某整數

每一項提出p

原式就為p * [某些整數的和] => p必可整除(1 + n)^p - n^p - 1

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◆ From: 128.220.212.177
推 obelisk0114 :C(p,k)有沒有可能不為整數?
→ suhorng     :no 一定是整數
推 obelisk0114 :為什麼?(當初就是在想它為何一定是整數)
推 PaulErdos   :作巴斯卡三角形你就知道了
推 justinj     :當p是負的,或 k是負的,或p不是整數,或k不是整數,或
→ justinj     :p小於k時就有可能了...
推 suhorng     :不就說 p 是質數了....