[分析] 積分與極限互換問題

[GSXSP (Gloria)]

μ is a finite measure (這一項我不確定是否有必要)

fn -> f  almost everywhere

and   lim  ∫|fn|^2 dμ < ∞
     n→∞
Prove that lim∫fn dμ = ∫f dμ


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.138.168.168
→ keroro321   :當然是必要,L([1,∞]),fn=1/(n*x)
Yes,  那加 ∫fn dμ < ∞ for all n  可以去掉 μ finite嗎
推 ppia        :你的意思應該是 sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ 吧?
我的意思是這樣  應該一樣吧@@?
※ 編輯: GSXSP           來自: 114.44.49.99         (07/07 06:52)
→ keroro321   :你這敘述是錯的,即使μ:finite measure
→ keroro321   :fn≧0,fn->f a.e.,f=0,1=∫fn,∫f=0,2F與你條件不一
→ keroro321   :樣 X=[-1,1] 想一下 Dirac Delta fuction 就是反例
→ keroro321   :喔抱歉 沒看到 lim∫|fn|^2 dμ < ∞
→ keroro321   :當條件μ:finite measure的證明(有問這個?)有的話
→ keroro321   :E(N,ε)=∪(n>N){|f-fn|>ε}, let E1=X-E(N,ε)
→ keroro321   :E2=E(N,ε)-E(N,1),E3=E(N,1) 這樣子去估計
→ keroro321   :∫|f-fn|=∫_E1+∫_E2+∫_E3
→ keroro321   :∫_E3( ≦(μ(E3)^0.5)*(2||fn||_2+1) ).. 當n夠大
推 ppia        :sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ implies {f_n} being
→ ppia        :uniformly integrable. Hence almost sure conv.
→ ppia        :implies L^1-conv..
推 ppia        :對於μ(X)=∞ 的狀況, 考慮 Lebesgue measure on |R
→ ppia        :f_n indicator function of [n,n+1]
→ ppia        :sup_n∫|f_n|^p dx = 1<∞, f_n -> 0 pointwisely
→ ppia        :但是 ∫|f_n-0| dμ 不趨近於零
→ sneak       : 對於μ(X)=∞ 的狀 https://noxiv.com
→ sneak       : sup_n∫|f_n| https://daxiv.com