推 songhome :感謝浪費時間在這上面XD~ 07/07 18:11
→ songhome :不過下面D^(......那邊第一個等號就看不懂了@@ 07/07 18:11
→ songhome :怎麼算過去的呢? 07/07 18:11
→ Honor1984 :我是將x^2-1移到最右邊 多寫幾項就會得到一般式 07/08 14:25
推 songhome :3Q~ 07/09 22:02
※ 引述《songhome (爽轟)》之銘言：
: http://ppt.cc/br4Q
: 算了好久一直找不出規律耶=口=
: 我是設y=(x^2-1)^n
: 一次微分後
: (x^2-1)y'=2xny
: 算出這樣以後再繼續算出y''和y'''
: 發現都沒有什麼規律可以算出y的n次微分
: 請問這到底要怎麼算勒....感謝
這真的很麻煩
浪費我好多時間
如果有板友有其他快速的方法肯貼出來
我也會很感謝
假設稱P_n(x)為Legendre polynomial = χ_n(x) = (係數)(D)^n[(x^2-1)^n]
D表示微分運算
把你的解代入Legendre differential ordinary equation
可化減為 [(x^2-1)P']' = n(n+1)P
等同[x^2-1](D^(n+1))[(x^2-1)^n] = n(n+1)D^(n-1)[(x^2-1)^n]
現在從左式開始計算
左式[x^2-1](D^(n+1))[(x^2-1)^n]
= D^(n+1)[(x^2-1)^(n+1)] - 2(n+1)(x)D^n[(x^2-1)^n] - n(n+1)D^(n-1)[(x^2-1)^n]
= 2(n+1)D^n[x(x^2-1)^n] - 2(n+1){D^n[x(x^2-1)^n] - nD^(n-1)[(x^2-1)^n]}
- n(n+1)D^(n-1)[(x^2-1)^n]
= [2n(n+1)-n(n+1)][(x^2-1)^n]
= n(n+1)D^(n-1)[(x^2-1)^n] = 右式
對左右式微分一次
[(x^2-1)P']' = n(n+1)P
=> 展開得Legendre differential ordinary equation
所以Legendre polynomial是Legendre differential ordinary equation的一解
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