Re: [微積] f(x+y)=f(x)f(y)

[PaulErdos (My brain is open)]

※ 引述《superhot (可可)》之銘言：
:  不知道如何證明, 只知道 y=e^kx 滿足, 麻煩各位大大提供解決方法！ 謝謝囉！
:  Show that, if f: R->R is any differentiable, nonconstant function such
:  that f(x+y)=f(x)f(y), then there exists a constant c such that, for all
:  x belongs to R  f'(x) = cf(x)



           f(x＋h)－f(x)       f(x)f(h)－f(x)          f(h)－1
f'(x)＝lim ───────＝lim ───────＝f(x)lim ────＝cf(x)
      h→0       h                   h                    h


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◆ From: 140.112.4.183
推 LPH66       :最後一個等於是這題的關鍵不要略過不說明啊 = ="
→ LPH66       :之所以那個極限存在是因為 f(0)=1
→ LPH66       :(這可以在關係式裡令 y = 0 證得)
→ LPH66       :因此那個極限是 f'(0) 根據假設它存在
   f 可微所以第一個極限存在, 第一個極限除以f(x)就是最後一個極限所以存在
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.4.183        (07/08 15:31)
推 superhot    :非常的謝謝！ 了解了！ 感激不盡.
推 Lpspace     :事實上這個證明可以只要連續就可以（但比較困難）
→ Lpspace     :不需要可以微分
   題目不是要證f(x)＝e^kx , 而是證f'(x) = cf(x)
※ 編輯: PaulErdos       來自: 140.112.4.183        (07/09 13:48)
推 profyang    :Lpspace大能否PO個f(x)＝e^kx的證明阿@@不須可微的
→ profyang    :有點好奇說~
→ Vulpix      :x是正整數的話...x是有理數的話...x是實數的話...