→ keroro321 :當然是必要,L([1,∞]),fn=1/(n*x) 07/06 22:11
Yes, 那加 ∫fn dμ < ∞ for all n 可以去掉 μ finite嗎
推 ppia :你的意思應該是 sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ 吧? 07/07 03:30
我的意思是這樣 應該一樣吧@@?
※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/07 06:52)
→ keroro321 :你這敘述是錯的,即使μ:finite measure 07/07 09:24
→ keroro321 :fn≧0,fn->f a.e.,f=0,1=∫fn,∫f=0,2F與你條件不一 07/07 09:33
→ keroro321 :樣 X=[-1,1] 想一下 Dirac Delta fuction 就是反例 07/07 09:41
→ keroro321 :喔抱歉 沒看到 lim∫|fn|^2 dμ < ∞ 07/07 10:05
→ keroro321 :當條件μ:finite measure的證明(有問這個?)有的話 07/07 11:34
→ keroro321 :E(N,ε)=∪(n>N){|f-fn|>ε}, let E1=X-E(N,ε) 07/07 11:36
→ keroro321 :E2=E(N,ε)-E(N,1),E3=E(N,1) 這樣子去估計 07/07 11:37
→ keroro321 :∫|f-fn|=∫_E1+∫_E2+∫_E3 07/07 11:38
→ keroro321 :∫_E3( ≦(μ(E3)^0.5)*(2||fn||_2+1) ).. 當n夠大 07/07 11:42
是這樣嗎:
Given ε> 0,
Let E_N = ∪ {|f-fn|>ε}
n>N
sup ∥fn∥_2 = M
n
by a.e. convergence, we can have μ(E_N) ≦ ε
if n > N,
∫|f-fn| dμ ＝ ∫{Ω\E_N} |f-fn| dμ + ∫{E_N} |f-fn| dμ
≦ εμ(Ω) + ∫{E_N} |fn| dμ + ∫{E_N} |f| dμ
(這Holder Inequality沒錯吧?)
≦ εμ(Ω) + (μ(E_N))^0.5 (∫{E_N} |fn|^2 dμ)^0.5
+ (μ(E_N))^0.5 (∫{E_N} |f|^2 dμ)^0.5
≦ εμ(Ω) + (μ(E_N))^0.5 (∥fn∥_2 + ∥f∥_2)
≦? εμ(Ω) + ε^0.5 (2M)
＝ ε'
E3好像不需要@@?
不過我不知道我要怎麼說明 ∥f∥_2 是 finite? (他應該會是≦M 吧?)
推 ppia :sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ implies {f_n} being 07/07 18:26
→ ppia :uniformly integrable. Hence almost sure conv. 07/07 18:26
→ ppia :implies L^1-conv.. 07/07 18:27
請問我要怎麼說明sup_n(∫|fn|^2 dμ) < ∞ implies {f_n} u.i. 呢?
推 ppia :對於μ(X)=∞ 的狀況, 考慮 Lebesgue measure on |R 07/07 18:35
→ ppia :f_n indicator function of [n,n+1] 07/07 18:36
→ ppia :sup_n∫|f_n|^p dx = 1<∞, f_n -> 0 pointwisely 07/07 18:37
→ ppia :但是 ∫|f_n-0| dμ 不趨近於零 07/07 18:38
Thanks for the excellent example.
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◆ From: 114.44.49.99
※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/08 15:08)
※ 編輯: GSXSP 來自: 114.44.49.99 (07/08 15:09)
→ keroro321 :∥f∥_2 用 Fatou's lemma 去想 07/08 16:08
→ GSXSP :Right!! thanks~ 07/08 21:45
推 ppia :∫_{|fn|>L} |fn| dμ≦∫|fn|^2 dμ/L 07/09 01:07
→ ppia :the RHS →0 uniformly in n as L →∞ 07/09 01:08
→ ppia :不僅是 p=2, 對於任何 p>1, 上面這個論述都成立 07/09 01:09
→ GSXSP :原來如此~ 謝謝! 07/09 09:35