Re: [線代] det(e^A) = e^tr(A)

[JohnMash (Paul)]

※ 引述《yyc2008 ()》之銘言：
: 這是課本的一個小習題
: 課文是用eigenvalue證明
: 這大概是最一般常見的方式
: 但是接著課文中間的習題指定不要從eigenvalue著手
: Prove det(e^A) = exp(tr(A)) directly from
: e^A = I + A + A^2/2! + ... = lim (I + A/N)^N
:                              N→∞
: without recourse to the eigenvalues.

   Calculate det(I+A/N) directly,

   det(I+A/N)=1 + tr(A)/N + O(1/N^2)

   det(e^A) → [1 + tr(A)/N]^N → e^{tr(A)}

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◆ From: 27.147.57.77
※ 編輯: JohnMash        來自: 27.147.57.77         (07/16 12:17)
推 yyc2008     :感謝 好妙的展開
→ yyc2008     :另外想順便問一下 從級數到lim這個等號有辦法連結嗎?
推 herstein    :要用到det是連續函數
推 herstein    :所以極限就可以取到矩陣列
→ yyc2008     :謝謝h大 原本我想問的是題目I+A+A^2/2!+..=lim是怎麼
→ yyc2008     :來的?
推 herstein    :你把矩陣所成的空間看成是n^2維的歐氏空間
→ herstein    :歐氏空間有距離的概念所以可以定義|a_n-a|
→ herstein    :你取A_n= I+A+A^2/2+...+A^n/n!
→ herstein    :你只要證明{A_n}收斂就可以...極限就定義為e^A
推 herstein    :高維度歐氏空間的絕對值定義方法跟R^2,R^3的差不多
→ herstein    :|(x_1,...,x_N)|=根號x_1^2+...+x_n^2
推 yyc2008     :謝謝herstein大 極限那個有點難想 是先取成ln?