推 jazzter :非常感謝。 07/18 17:55
推 cat100cat :大神!!!! 07/18 18:22
※ 編輯: LimSinE 來自: 219.84.177.67 (07/18 23:07)
以a,b,c,d表示a1,a2,a3,a4
題目等同於證明當a+b+c+d=1, a,b,c,d >=0時，
2(a^2+b^2+c^2+d^2) - (a^3+b^3+c^3+d^3) >= 7/16
(等號成立於a=b=c=d=1/4)
考慮函數f(t) = 2t^2 - t^3, 則f"(t) = 4 - 6t
故當t<=2/3時，f為凹向上
不失一般性，可設 a,b,c <=2/3, (因為至多只有一個>2/3)
設x = a+b+c/3，則由f之凸性
f(a)+f(b)+f(c)+f(d) >= 3f(x) + f(d), "=" <=>a=b=c
換言之問題化為 0<=x<=1/3 時
g(x) = 2(3x^2+(1-3x)^2) - (3x^3 + (1-3x)^3) -7/16 >=0
因式分解，發現 g(x)=(x-1/4)^2 (24x+9) 顯然>=0，且"="<=> x=1/4
※ 引述《jazzter (阿里巴巴你媽媽)》之銘言：
: 想請教
: [2(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2) / (a1+a2+a3+a4)^2] -
: [(a1^3+a2^3+a3^3+a4^3) / (a1+a2+a3+a4)^3]
: 這個式子是否能求出它的範圍？a1~a4皆為正實數。
: 先假設柯西不等式之等號在這裡永不成立，
: 用柯西可求出前一項之結果為＞1/2
: 後一項為>1/16
: 但我卡在兩個大於相減之後就不知道該如何再處理下去，
: 內心希望能證明這個結果是>7/16或是在某些範圍裡能>7/16，
: 不知道各位是否能不吝指教提供一些想法，謝謝。
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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◆ From: 219.84.125.38
※ 編輯: LimSinE 來自: 219.84.125.38 (07/18 17:26)