作者CFE220 (JOHN VON HERBERT)
看板Math
標題Re: [線代] 矩陣的問題
時間Sat Jul 21 17:42:13 2012
※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《zako1113 (那個人)》之銘言：
: : If A is a skew-symmetric real matrix, prove that (I+A) is invertible.
: : (Hint: show that (I+A)X = 0 cannot have non-zero solution X in R^n)
: : 用書內的提示
: : (I+A)X = 0 for some non-zero X
: : => AX = -X
: : => -1 is an eigenvalue of A
: : 請問之後要怎麼做呢?
: 設存在非零v
: (I+A)v = 0
: Av = -v --- (1)
: A^T = -A --- (2)
: (1) => v^T A^T = -v^T
: => v^T A = v^T
: => v^T A v = v^T v > 0
: 但是 根據假設 Av = -v
: => - v^T v = v^T v
: => v只能為0 與原假設矛盾
: 故原命題得證
Another way,
Claim:〈Av,v〉= 0, where A is a skew-symmetric real matrix and v in R^n.
(I+A)X = 0 => AX = -X
And 0 =〈AX,X〉= -〈X,X〉=> X = 0.
∴ I+A is invertible. Q.E.D.
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◆ From: 36.233.123.206
→ yyc2008 :〈Av,v〉= 0是skew-symmetric的性質? 07/21 17:55
→ yyc2008 :不是很懂Claim第一行... 07/21 18:08
→ lockheart :a_11=0, a_12=-1, a_21=1, a_22=0, 特徵值只有i和-i 07/21 18:45
→ CFE220 :skew-symmetric不保證此claim的成立,要加real才可以 07/22 18:16
→ lockheart :實際上只要A有非0特徵根, 就能從相對應的eigenspace 07/22 18:29
→ lockheart :中挑一個特徵向量產生反例, 當然這種矩陣A也找的到 07/22 18:30
→ lockheart :就好比我推文的矩陣就是real skew-symmetric 07/22 18:35
→ lockheart :抱歉喔, 我有地方誤會了 07/22 18:56
→ lockheart :因為透過我上面講的方法最後找到的特徵向量都屬於C^n 07/22 19:17