作者herstein (翔爸)
看板Math
標題Re: [其他] 請問有無人看過 Zorich 寫的數學分析
時間Tue Jul 24 20:33:24 2012
※ 引述《BaBi (梅花香自苦寒來)》之銘言：
: 如題, 由於暑假時間還算充裕, 想涉略有關於數學分析（高等微積分）
: 領域的書籍, 在這之前對於基礎數學已有修習過, 大一初等微積分也學
: 的算是透徹, 再修習初微時是用 Adams 的《Calculus: A Complete Course》
: 搭配著 Courant & John 的《Introduction to Calculus And Analysis》 Volume 1
: 一起看, 其中若有涉及較深的部分也有拿 Apostol 來作參考.
: 但由於只是如此蜻蜓點水般的查閱, 沒有詳讀, 想請問一下板友一些問題...
: 除了如題想問 Zorich 這本書之外（因為板上多半是推薦 Apostol. Rudin.
: Marsden. Wade） Zorich似乎較少被人提及, 但之前有問過教授, 他列出的
: 書單中有這一本, 不知道板上對這本的評價如何?
: 再來就是以我目前狀況, 因為並非數學系本科出身, 只是對於這方面有興趣,
: 請問是否需要在自學高等微積分之前, 將 C&J 的書再次翻閱呢?
: （因為我會搭配著交大開放式課程白啟光老師的影音檔, 但該課程選用書籍
: 是 Rudin 的, 實在是....有些難以下嚥@@）
: 問題有點多, 麻煩各位板友了...
Zorich這本書的介紹大概是所有上述你列的書裡面內容最廣的一套書(共兩本)。我以前覺
得Apostol講多變數微積分沒提differential form有點可惜，並且Apostol的多變量微積
分的部份我個人並不太喜歡，而Rudin的書有點過於抽象，但他函數空間的部分寫得最好，
很值得讀。Marsden是一本適合自學的書，所以比較淺一點，然而他的多變數微分隱函數
定理的部分講的比Rudin好，Rudin的這部分寫的太抽象。然而Zorich的書應該是克服了這
些缺點寫出來的兩本書，難易適中，同時他的多變量微積分是講的非常好的。缺點或許就
如同艾迪胥講的，習題比較少。而習題的部分可以透過Apostol跟Rudin補強。
Zorich寫書的風格就是俄羅斯人寫書的風格，你不會在裡面看到很多習題。但是俄羅斯人
在陳述數學的直觀性是相對來說比其它國家的人厲害多了。Rudin是比較老派的抽象分析
學，所以它的抽像化讓人覺得分析學距離微積分非常遠，但高微，或數學分析，最主
要要處理函數空間上的微積分，通常這些函數空間都是一些Banach space或是Hilbert
space。高等微積分學的發展跟當初量子物理學的公設化有著很大的關聯性。早期，數學家
為了解決微分方程的理論發展了積分方程的理論，而線性積分方程就是函數空間上的
微積分與線性代數理論。例如，積分方程
f(x)=g(x)+λ∫k(x,y)f(y)dy
可以把它視為
f= g+λAf
其中A是積分算子f->∫ k(x,y)f(y)dy。於是我們就把問題改寫成 (1-λA)f=g=>
f=(1-λA)^(-1) g。而要如何去定義(1-A)^-1?透過初等微積分的想法，利用等比級數展開
(1-A)^-1=1+A+A^2+....
也因此你就必須考慮在無限維空間上定義收歛的概念。先有了函數空間的範數的概念後，
把這概念推廣到一般的集合上，就產生了metric space的概念。但為了要處理一些方程
你必須要讓Cauchy sequenece有極限，因為積分方程的解與微分方程的解常常是必須要
透過科西列的建構才有辦法完成。例如，當A是矩陣的時候，我們驗證
S_n=1+A+A^2/2!+....+A^n/n!
構成一個科西列{S_n}，在利用空間的完備性，我們得知這個科西列的極限存在，所以
我們就把極限記為e^A。
這也是為什麼一開始的時候，高等微積分的內容是講metric space，因為定義極限是需要
距離的概念。(當然拓樸空間也可以給出極限的定義，但這已經超出高微的範疇)。
而完備空間是為了給科西列極限，這麼一來，微分方程的解就可以透過科西列去構造。
例如
x'(t)=f(t,x), x(a)=b
兩邊積分後 x(t) =b+∫ f(u,x)du。於是我們就把這積分方程看成是某個函數空間上得
映射。
T: x-> b+∫f(u,x)du
所以處理微分方程的解就成為映射T(x)=x的不動點的存在性。如果你的映射T視所謂的壓
縮映射。你利用跌代的方式
x_{n+1}=T(x_n)
定義出了函數空間上得"科西列"，並且如果你的空間是完備的，你就可以從科西列的極限
構造出T的不動點，也就是微方方程的解。
拓樸是用來讓你陳述"數列如何收斂"用的，因為他告訴你空間跟點的相對位置，當你改變
點附近的區域時，你的數列仍然落在這區域裡頭，那麼你知道點的鄰域控制著數列的行
為。
所以高等微積分的目的就是為了處理函數空間上得微積分而來的，即便是多變量的微積分
也是為了變分學與微分流形上的微積分產生的。所以Zorich的書後面談了differential
form與Differentiable Manifold。
如果讓我教高微，我應該會用這本書，然後習題指定Apostol還有Rudin。
Apostol為何是好書，因為它難易適中，習題很多。
過分的強調抽象的證明而失去了數學的值觀未必是好事，數學是先有了直覺，才去想辦法
嚴謹的證明。通常看俄羅斯人的書，都要搭配個幾本比較嚴謹寫作的書。我想，Zorich的
書應該很值得收藏(如果你有錢)。
我也挺喜歡Folland寫書的風格，習題也都編很好。
如果想看數學分析，暑假大概要看完很難。把Apostol或是Marsden的點拓拿來做做題，
其實就很夠了。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 193.51.104.23
※ 編輯: herstein 來自: 193.51.104.23 (07/24 21:02)
推 Landau :為何俄羅斯人在陳述數學直觀上特別厲害啊？ 好奇 07/24 20:55
→ herstein :訓練 07/24 21:02
推 kuromu : 07/24 21:16
推 PaulErdos :送啦! 胡說八道釣出專業的 07/24 21:32
你說的不錯呀，只是我補充一下Zorich的書內容而已XD
推 FernandoMath:推 07/24 21:35
推 BaBi :感謝兩位板大的說明 07/24 21:44
推 suhorng :推 07/24 21:48
推 chy1010 :一推再推 07/24 22:54
推 math99 :h大文必推！ 07/24 23:23
推 keroro321 :! 07/24 23:40
推 THEJOY :好文有看有推!! 07/25 02:11
推 recorriendo :我也覺得Zorich很棒 以前在某篇推文推薦過結果沒人理 07/25 02:33
→ recorriendo :他多變數那邊提到許多在物理的應用 滿有趣的 07/25 02:34
推 yyc2008 :好文 長知識 x(t) = "b?" + ∫ f(u,x)du 07/25 06:41
True^^
→ yyc2008 :不過俄國人的書寫法還是和歐美不同 要適應 07/25 06:42
推 andyisman : 07/25 07:48
推 chy1010 :我覺得應該是幾乎沒有學校上課用過這本書的緣故吧 07/25 07:48
台灣應該沒有甚麼人注意到這本書?
推 qwerrewq :強者我大學同學阿~~ 推~ 07/25 11:04
推 xgcj :好文 07/25 11:45
※ 編輯: herstein 來自: 193.55.36.60 (07/25 11:57)
→ Honor1984 :我知道這一本書也是無意間逛到PRC那邊的網站上看到的 07/25 12:23
推 craig100 :強者H大 推 07/25 13:09
推 henry781114 :不知道俄羅斯人怎麼訓練的,出過很多大科學家/數學家 07/25 23:15
推 henry781114 :還有俄羅斯數學家解開世界7大難題後,不領100萬美金的 07/25 23:19
→ henry781114 :也不去領菲爾茲獎 07/25 23:19
(1)看別人的東西時，先把精神看懂，細節不用管太多，先看懂到底在講甚麼。
(2)學一個東西先學會算，證明先不管他。
(3)數學是討論出來的。
(4)俄羅斯人會互相幫忙，不同領域間的交流很平凡。
(5)俄羅斯人常常會聚在一起打排球，IHES暑假有一桌都是俄羅斯人，這一桌人
下午就會打排球，號稱俄羅斯排球隊
(6)不少俄羅斯數學家都參加過奧數，會說某某數學家是跟我同一屆(奧數)的。
(7)美女很多
俄羅斯有數學的傳統，所以他們所建立起來的數學圈子，台灣大概差了幾十年有。
※ 編輯: herstein 來自: 193.51.104.23 (07/26 00:41)
推 PaulErdos :(2)很棒 我也都想這樣 但修課都要把大定理證明背起來 07/26 00:45
→ PaulErdos :結果背了半天還是對這科沒什麼感覺 07/26 00:45
→ herstein :(7)也很棒 07/26 00:45
→ PaulErdos :最後都是修完課自己繼續唸才逐漸搞懂 (7)更棒 07/26 00:46
→ PaulErdos :唉呀 慢了一步 07/26 00:46
→ herstein :(4)其實很重要，因為在台灣不太看得到XD 07/26 00:46
推 PaulErdos :(7)可以讓我們有很快樂的學習環境... 07/26 00:54
推 henry781114 :推(1) (2) (3) (4) (7) 07/26 02:04
推 ijsfkira :推 07/26 02:32
推 TassTW :募集台灣排球隊 (離題) 07/27 05:06
→ herstein :台灣人要互相幫忙~~~互相支持學術 07/27 06:03
→ herstein :其實像那樣聯絡感情蠻好的 07/27 06:03
推 bowin :專業好文, 而且 (1)-(7) 都很棒 (筆記ing... :P) 07/27 10:17
推 dreamfire :專業好文…（筆記） 07/27 13:59
推 Gaitz :專業推 搞得我也想去俄羅斯讀數學XD 07/27 20:14
→ herstein :有名的俄羅斯人都不在俄羅斯內XD 07/27 20:39
推 itai :(7)可以讓我們有很快樂的學習環境> < 07/29 23:13